Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Hetedik feladatsor (2003. április 23)

1. Bizonyítsuk be, hogy a feloldható csoportok osztálya zárt a részcsoportképzésre, a faktorcsoport képzésére, és a véges sok tényezős direkt szorzat képzésére.

2. Hasson a G csoport az X halmazon, és legyen φ_{g}(x) = g ∗ x. Bizonyítsuk be, hogy g ↦ φ_{g} homomorfizmusa G-nek S_{X}-be. Ennek a magját a hatás magjának nevezzük.

3. Legyen H részcsoportja a G csoportnak, és definiáljuk G hatását a H szerinti bal mellékosztályokon a g ∗ (aH) = gaH képlettel. Igazoljuk, hogy hatást kaptunk, melynek magja a H konjugáltjainak a metszete.

4. Tegyük fel, hogy a G egyszerű csoportban van n-indexű részcsoport. Bizonyítsuk be, hogy G izomorf az S_{n} egy részcsoportjával.

5. Igazoljuk, hogy páratlan rendű csoport három indexű részcsoportja normálosztó.

6. Legyen H részcsoportja a G csoportnak, és N_{G}(H) = {g ∈ G | gH = Hg} (ez a H normalizátora). Igazoljuk, hogy N_{G}(H) a legnagyobb olyan részcsoport, amiben H normálosztó, és hogy H-nak |G : N_{G}(H)| darab konjugáltja van G-ben.

7. Legyen X ⊆ G. Mutassuk meg, hogy C_{G}(X) ◁ N_{G}(X), és ha X részcsoport, akkor C_{G}(X)/N_{G}(X) beágyazható X automorfizmuscsoportjába.

8. Melyik ismert csoporttal izomorf az S_{4} csoport 2-Sylow részcsoportja?

9. Határozzuk meg az alábbi csoportok Sylow-részcsoportjainak a számát: S_{3}, D_{n}, S_{4}, A_{5}.

10. Igazoljuk, hogy nincs 200, 204, 260, 56 rendű egyszerű csoport.

11. Egy véges csoport Cayley-reprezentációjában mely elemeknek lesz páratlan permutáció a képe? Mutassuk meg, hogy ha a G csoport 2-Sylowja ciklikus, akkor G nem egyszerű. 12^{∗}. Igazoljuk, hogy nincs 120, 180^{∗∗}, 312, 616, 1960 rendű egyszerű csoport. 13^{∗}. Igazoljuk, hogy ha p, q, r páronként különböző prímek, akkor nincs pqr rendű egyszerű csoport. 14^{∗∗}. Igazoljuk, hogy ha p ≠ q prímek, és α > 0, akkor nincs p^{α}q rendű egyszerű csoport.

15. [Frattini-elv] Legyen H ◁G és P egy p-Sylowja H-nak. Igazoljuk, hogy G = HN_{G}(P), és hogy N_{G}(P) tartalmazza G egy p-Sylow részcsoportját.

16. Legyen P egy p-Sylow G-ben, és N ◁G. Igazoljuk, hogy P ∩N (egy) p-Sylowja N-nek, és NP/N (egy) p-Sylowja G/N-nek.

17. Mutassuk meg, hogy egy tetszőleges G csoport belső automorfizmusai normálosztót alkotnak G automorfizmus-csoportjában. 18^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy a két elemmel generált szabad csoportnak van olyan részcsoportja, amely izomorf a megszámlálhatóan generált szabad csoporttal. 19^{∗∗∗∗∗}. Konstruáljunk végesen generált végtelen egyszerű csoportot. (Ötlet: tekintsük az ⟨x, y, z, t | xyx^{−1} = y^{2}, yzy^{−1} = z^{2}, ztz^{−1} = t^{2}, txt^{−1} = x^{2}⟩ definiáló relációkkal megadott csoportot. Igazoljuk, hogy ez nem egyelemű, de minden véges faktora az).