Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Ötödik feladatsor (2003. március 26)

Legyen L háló. Ha a ≤ b ∈ L, akkor {c ∈ L : a ≤ c ≤ b} az [a, b] intervallum. A c, d ∈ [a, b] relatív komplementumok [a, b]-ben, ha c ∨ d = b és c ∧ d = a. A komplementum a [0, 1]-re vett relatív komplementum. Egy részhalmaz konvex, ha bármely két összehasonlítható eleme közötti intervallumot is tartalmazza. Az I ⊆ L ideál, ha egyesítésre zárt, és leszálló, azaz minden b ∈ I-re a b-nél kisebb elemeket is tartalmazza. A filter a duális fogalom. Egy ideál prímideál, ha a komplementere filter, a duális fogalom az ultrafilter.

1. Melyek disztributívak IV/1. feladatban lerajzolt hálók közül?

2. Vezessük le mindkét disztributív szabályból a másikat.

3. Tegyük fel, hogy I ideálja, F pedig filtere az L disztributív hálónak. Legyen (a, b) ∈ θ_{I} akkor és csak akkor, ha van olyan x ∈ I, melyre a ∨ x = b ∨ x, és ψ_{F} a duális fogalom.

a) Bizonyítsuk be, hogy θ_{I} kongruencia, amelynek I osztálya.

b) Igazoljuk, hogy ha x ∈ I és y ∈ F esetén mindig x ≤ y, akkor θ_{I} ∩ ψ_{F} = 0_{L}. Keressük meg ennek alapján a szubdirekt irreducibilis disztributív hálókat.

4. Mutassuk meg, hogy disztributív hálóban a maximális kongruenciák pontosan a prímideáloknak felelnek meg, és minden ideál része egy prímideálnak.

5. Igazoljuk, hogy disztributív hálóban a komplementum, ha létezik, akkor egyértelmű.

6. Legyen M(x, y, z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) és m(x, y, z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ∨ (y ∧ z) (felső és alsó mediáns). Igazoljuk az alábbiakat.

a) Mindkét mediáns többségi term, és tetszőleges hálóban m ≤ M.

b) Egy L háló pontosan akkor disztributív, ha bármely három elemnek megegyezik az alsó és felső mediánsa.

7. Határozzuk meg a szubdirekt irreducibilis Abel-csoportokat.

8. A ℂ[x] gyűrűt, illetve a páratlan nevezőjű törtek gyűrűjét bontsuk fel szubdirekt irreducibilisek szubdirekt szorzatára.

9. Fogalmazzuk meg és lássuk be az általános homomorfizmus- és két izomorfizmus-tételt.

10. Igazoljuk az SH(K) ⊆ HS(K), PS(K) ⊆ SP(K), PH(K) ⊆ HP(K) összefüggéseket.

11^{∗}. Mi lesz a ℤ^{+} csoport illetve a ℤ gyűrű által generált varietás?

12. Adjunk struktúratételt az x^{2} = x azonossággal definiált gyűrűvarietás véges elemeire.

13^{∗∗}. Határozzuk meg az S_{3} csoport által generált varietás szubdirekt irreducibiliseit.

14^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy a Q illetve a D_{4} csoportok ugyanazt a varietást generálják, és adjuk meg ezt a varietást véges sok azonossággal.

15. Mutassuk meg, hogy a három elemmel generált szabad háló végtelen. Rajzoljuk le az x, y, z elemekkel generált, x ∨ y = y (azaz x ≤ y) definiáló relációval megadott hálót.

16. Bizonyítsuk be, hogy minden végesen generált disztributív háló véges. Adjunk alsó és felső becslést az n elemmel generált disztributív háló elemszámára.