Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Negyedik feladatsor (2003. március 19)

1. Döntsük el az alábbi részben rendezett halmazokról, hogy hálók-e. Amelyek hálók, azoknak rajzoljuk le a kongruenciahálóját és a részháló-hálóját. Melyek lesznek egyszerűek? Adjuk meg a második hálónak az elsőbe menő rendezéstartó leképezéseit, és válogassuk ki ezek közül a háló-homomorfizmusokat. Mindegyik lerajzolt hálóban keressünk minimális elemszámú generátorrendszert.

2. Mutassuk meg, hogy egy háló-kongruencia minden osztálya konvex részháló.

3. Igazoljuk, hogy egy ≡ ekvivalencia-reláció pontosan akkor háló-kongruencia, ha minden c-re a ≡ b-ből a∨c ≡ b∨c és a∧c ≡ b∧c következik. Általánosítsuk ezt tetszőleges algebrára. Mutassuk meg, hogy az egyváltozós polinomok megőrzik a kongruenciákat.

4. Határozzuk meg egy általános modulus illetve kommutatív gyűrű összes termjét és polinomját.

5. Bizonyítsuk be, hogy az A algebrában az a_{1}, …, a_{n} elemek által generált részalgebra a t^{A}(a_{1}, …, a_{n}) alakú elemekből áll, ahol t befutja az adott típusú n-változós termeket.

6. Hány kétváltozós művelet van egy négyelemű halmazon?

7. Írjuk fel az alábbi műveletek szorzástábláit, és osztályozzuk a megfelelő struktúrákat aszerint, hogy izomorfak-e: az {1, i, −1, −i} számok a szorzásra; ℤ_{4}^{+}; ℤ_{8}^{×}; ℤ_{5}^{×}; a {0, 2, 4, 6} halmaz a modulo 8 összeadásra illetve szorzásra; a {0, 4, 8, 12} halmaz a modulo 16 összeadásra illetve szorzásra; a {3, 9, 27, 81} halmaz a modulo 81 szorzásra; egy kételemű halmaz összes önmagába menő leképezése a kompozícióra; egy négyelemű halmaz összes önmagába menő konstans leképezése a kompozícióra; egy téglalap illetve rombusz összes szimmetriája a kompozícióra; egy kételemű halmaz összes részhalmaza az unióra, a metszetre, illetve a szimmetrikus differenciára; a ℤ_{2} feletti összes polinomfüggvények a szorzásra; az {1, 2} × {1, 2} halmaz az (a, b) ∗ (c, d) = (a, d) műveletre; a {0, 1, 2, 3} halmaz a min illetve max műveletekre.

8. Az előző feladatban szereplő struktúráknak számítsuk ki az összes részstruktúráit, és az összes kongruenciáit. Melyek bonthatók fel nemtriviális módon direkt szorzatra, és melyek generálhatók egy elemmel? Keressünk olyan négyelemű félcsoportokat, amelyek a felsoroltak egyikével sem izomorfak.

9^{∗}. Van-e négyelemű egyszerű félcsoport?

10^{∗}. Írjuk le az egyszerű, kommutatív félcsoportokat.

11^{∗}. Igazoljuk, hogy ha egy nullelemes véges félcsoportban minden elem alkalmas hatványa nulla, akkor minden elég hosszú szorzat nulla.

12^{∗}. Van-e olyan kétváltozós művelet egy négyelemű halmazon, hogy a kapott struktúrának csak egy részalgebrája és két kongruenciája legyen (a triviálisak)?