Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Harmadik feladatsor (2003. március 12)

A feladatsoron minden gyűrű egységelemes. Egy modulus teljesen reducibilis, ha egyszerű részmodulusok összege. Az M modulus M_{α} (α ∈ A) részmodulusai függetlenek, ha összegük direkt összeg (azaz bármelyiknek a többi összegével vett metszete nulla).

1. Határozzuk meg az alábbi gyűrűk radikálját: egy főideálgyűrű egy faktorgyűrűje; a páratlan nevezőjű törtek; a 2-hatvány nevezőjű törtek; a komplex felső háromszögmátrixok.

2. Mutassuk meg, hogy a radikálban csak a nulla lehet idempotens elem.

3. Igazoljuk, hogy minden véges gyűrű kommutatív, melyben igaz az x^{n} = x azonosság.

4. Legyen M baloldali R-modulus, D = End_{R}(M), és D^{∗} a D-ből a szorzás megfordításával kapott gyűrű: r ∗ s = sr. Igazoljuk, hogy M egy R − D^{∗} bimodulussá válik az mφ = φ(m) definícióval (azaz M jobboldali D^{∗}-modulus, és az (rm)φ = r(mφ) azonosság is teljesül tetszőleges r ∈ R, m ∈ M és φ ∈ D esetén).

5. Legyen D ferdetest, és D^{∗} a D-ből a szorzás megfordításával kapott gyűrű. Ha v ∈ D^{n} és λ ∈ D, akkor a vλ szorzatot értelmezzük komponensenként. Az M = D^{n} Abel-csoportot tegyük bal modulussá a D^{n×n} mátrixgyűrű fölött a szokásos mátrix-vektor szorzásra. Mutassuk meg, hogy End_{R}(M) elemei pontosan a φ_{λ} : v ↦ vλ alakú leképezések, és így a λ ↦ φ_{λ} megfeleltetés izomorfizmus End_{R}(M) és D^{∗} között.

6. Legyen az M modulus az M_{α} (α ∈ A) egyszerű részmodulusainak összege, és N egy részmodulusa M-nek. Mutassuk meg, hogy van olyan B ⊆ A, hogy M_{β} (β ∈ B) függetlenek, és ha (direkt) összegüket K jelöli, akkor M = N ⊕ K.

7. Legyen M az M_{α} (α ∈ A) egyszerű részmodulusainak összege. Bizonyítsuk be, hogy a) M minden része és faktora is teljesen reducibilis, és minden része direkt összeadandó;

b) M minden egyszerű része illetve faktora izomorf valamelyik M_{α} modulussal.

8. Legyen R egyszerű gyűrű, melynek van egy J minimális balideálja. Igazoljuk, hogy _{R}R teljesen reducibilis modulus, és minden egyszerű R-modulus izomorf _{R}J–vel.

9. Legyen az R gyűrű k darab ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű direkt szorzata. Mutassuk meg, hogy R felett pontosan k darab nemizomorf egyszerű modulus van.

10. Mutassuk meg, hogy az R gyűrűre az alábbiak ekvivalensek: (1) minden R-modulus projektív (injektív); (2) minden R-modulus minden részmodulusa direkt összeadandó;

(3) minden R-modulus teljesen reducibilis; (4) az R féligegyszerű Artin-gyűrű.

11. Igazoljuk, hogy ha x eleme a radikálnak, akkor 1−x-nek van jobbinverze is. Mutassuk meg, hogy a radikál nem függ attól, hogy bal- vagy jobboldali modulusokkal definiáljuk, és hogy féligegyszerű gyűrű esetén a bal- és jobboldali Artin-tulajdonság is ekvivalens.

12. Legyen J maximális balideálja az R gyűrűnek, és I az R/J faktormodulus annullátora. a) Igazoljuk, hogy I a legnagyobb olyan ideálja R-nek, mely része J-nek.

b) Legyen 0 ≠ u ∈ R/J. Mutassuk meg, hogy u annullátora maximális balideál.

c) Mutassuk meg, hogy I előáll az R alkalmas, maximális balideáljainak metszeteként.

d) Vezessük le ebből, hogy R radikálja a maximális balideálok metszete.