Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Második feladatsor (2003. március 5)

1. Számítsuk ki: ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ^{+}; ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ_{m}^{+}; ℚ^{+} ⊗ ℤ_{n}^{+}; ℚ^{+} ⊗ ℚ^{+}; ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{n}^{+}; ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{p^{∞}}. Igaz-e: a) Osztható csoportnak bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata osztható.

b) Torziócsoport bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata torziócsoport.

c) Osztható csoportnak bármely torziócsoporttal vett tenzorszorzata nulla.

d) Két szabad Abel-csoport tenzorszorzata is szabad.

e) Ha A tetszőleges Abel-csoport, akkor ℤ_{n}^{+} ⊗ A ≅ A/nA.

2. Az I/3. feladatban számítsuk ki az A ⊗ φ leképezéseket is.

3. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű és A, B, C, D baloldali unitér R-modulusok. Melyek igazak az alábbi izomorfizmusok közül?

a) _{R}R ⊗ A ≅ A.

b) Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) ≅ Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D).

c) (A × B) ⊗ C ≅ (A ⊗ C) × (B ⊗ C).

d) Hom(A, Hom(B, C)) ≅ Hom(A ⊗ B, C).

4. Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér. Írjuk fel V ⊗ V alábbi elemeit a lehető legrövidebb alakban (azaz minél kevesebb tenzor összegeként).

a) (1, 0) ⊗ (2, 4) + (2, 0) ⊗ (2, 4) + (3, 0) ⊗ (1, 2).

b) (1, 0) ⊗ (1, 0) + (1, 0) ⊗ (0, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0) + (0, 1) ⊗ (0, 1).

c) (1, 0) ⊗ (2, 2) + (1, 2) ⊗ (2, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0).

5. Ha A, B, C, D Abel-csoportok, α ∈ Hom(A, C) és β ∈ Hom(B, D), akkor α⊗β kétféleképpen értelmezhető: mint leképezések tenzorszorzata, és mint a Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D) egy eleme. Igazoljuk, hogy van olyan Ψ : Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D) → Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) homomorfizmus, ami a második értelmezéshez az elsőt rendeli, de Ψ általában se nem injektív, se nem szürjektív. (Ötlet: Tekintsük az α : ℤ_{p} → ℤ_{p^{2}} beágyazást.)

6. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű, A ≤ B és C ≤ D baloldali unitér Rmodulusok. Jelölje U az a ⊗ c alakú elemek által generált részcsoportot B ⊗ D-ben, ahol a befutja A-t és c befutja C-t.

a) Mutassuk meg, hogy U homomorf képe A ⊗ C-nek.

b) Igaz-e, hogy B/A ⊗ D/C ≅ (B ⊗ D)/U?

c) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak?

d) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak, ha R test?

7. Határozzuk meg a véges injektív és projektív modulusokat ℤ_{n} fölött.

8^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy a) projektív (injektív) modulus direkt összeadandója is az;

b) injektív modulusok direkt szorzata is az, és ennek a duálisát;

c) kommutatív gyűrű felett projektív modulusok tenzorszorzata is az;

d) főideálgyűrű fölött projektív ⟺ szabad és injektív ⟺ osztható.

9^{∗∗∗}. Mutassuk meg, hogy minden modulus beágyazható injektív modulusba. Segédállítás: ha A osztható Abel-csoport, akkor Hom_{ℤ}(R, A) injektív R-modulus.