Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Első alkalom (2003. február 17), KÉTOLDALAS FELADATSOR!

Ha A Abel-csoport és n ∈ ℤ, akkor nA = {na | a ∈ A} és A[n] = {a ∈ A | na = 0}. Az A torziócsoport, ha minden eleme véges rendű; torziómentes, ha csak a 0 véges rendű; szabad, ha ℤ^{+} példányainak direkt összegével izomorf; osztható, ha az nA = A minden 0 ≠ n ∈ ℤ-re. ℤ_{p^{∞}} a komplex p-hatványadik egységgyökök csoportja a szorzásra (p prím).

1. Számítsuk ki a Hom(A, B) és Hom(B, A) Abel-csoportokat, ha (A, B) rendre (ℤ_{n}^{+}, ℤ^{+}); (ℤ_{n}^{+}, ℤ_{m}^{+}); (ℚ^{+}, ℤ_{n}^{+}); (ℚ^{+}, ℚ^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{n}^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{p^{∞}}) (mint ℤ-modulusok).

2. Igazoljuk az alábbi állításokat (R kommutatív, A, B, C, D unitér bal R-modulusok). a) Hom(_{R}R, A) ≅ A.

b) Hom(A × B, C) ≅ Hom(A, C) × Hom(B, C).

c) Hom(A, C × D) ≅ Hom(A, C) × Hom(A, D).

3. Számítsuk ki A = ℤ^{+}, ℤ_{m}^{+}, ℤ_{p^{∞}}, ℚ^{+} esetén Hom(id_{A}, φ)-t és Hom(φ, id_{A})-t. Vizsgáljuk meg, hogyan függ össze φ és az eredmény injektivitása, illetve szürjektivitása.

a) φ : ℤ^{+} → ℤ^{+} az a homomorfizmus, ami minden elemhez az n-szeresét rendeli.

b) φ : ℤ_{m}^{+} → ℤ_{nm}^{+}, az n-nel szorzás.

c) φ : ℤ^{+} → ℤ_{n}^{+} a mod n vett maradék képzése.

d) φ a ℤ^{+} → ℚ^{+} beágyazás.

4. Legyen α : A → B modulushomomorfizmus. Igazoljuk, hogy α akkor és csak akkor szürjektív, ha jobbról szabad vele egyszerűsíteni, azaz tetszőleges β, γ : B → C homomorfizmusokra βα = γα ⟹ β = γ. Fogalmazzuk meg a duális (azaz a nyilak megfordításával kapott) tulajdonságot. Mely α homomorfizmusokra teljesül az?

5. Tegyük fel, hogy az alábbi diagram sora egzakt.

M

↓^{η}
0 ⟶ A ⟶^{α} B ⟶^{β} C

Igazoljuk, hogy pontosan akkor van olyan φ : M → A homomorfizmus, ami a diagramot kommutatívvá teszi, ha βη = 0, és ilyenkor φ egyértelmű. Dualizáljuk az állítást.

6. Legyen α, β ∈ Hom(A, B). Bizonyítsuk be, hogy Im(α) ⊆ Im(β) pontosan akkor, ha tetszőleges φ : B → C homomorfizmusra φβ = 0 ⟹ φα = 0. Dualizáljuk az állítást.

7. Bizonyítsuk be, hogy az α : A → B homomorfizmus pontosan akkor képzi le A-t injektíven a B egy direkt összeadandójára, ha van balinverze. Dualizáljuk az állítást.

8. Bizonyítsuk be, hogy ha

0 ⟶ A ⟶^{α} B ⟶^{β} C ⟶ 0

egzakt sorozat, akkor tetszőleges M modulusra az alábbiak is egzaktak:

0 ⟶ Hom(M, A) ⟶^{Hom(id_{M} ,α)} Hom(M, B) ⟶^{Hom(id_{M} ,β)} Hom(M, C)
0 ⟶ Hom(C, M) ⟶^{Hom(β,id_{M})} Hom(B, M) ⟶^{Hom(α,id_{M})} Hom(A, M)

9. Adjunk példát arra, hogy Hom(A, B)-n a természetes szorzás nem ad modulust.

10. Számítsuk ki az Ext(ℤ_{3}^{+}, ℤ_{3}^{+}) csoportot a faktorrendszerek felírásával.

11. Tegyük fel, hogy az alábbi diagram kommutatív, és a sorai egzaktak. Igazoljuk, hogy a) ha γ_{1} epi, és γ_{2}, γ_{4} mono, akkor γ_{3} is mono;

b) ha γ_{5} mono, és γ_{2}, γ_{4} epi, akkor γ_{3} is epi.

A_{1} ⟶^{α_{1}} A_{2} ⟶^{α_{2}} A_{3} ⟶^{α_{3}} A_{4} ⟶^{α_{4}} A_{5}
γ_{1}↓  ^{γ_{2}}↓  ^{γ_{3}}↓  ^{γ_{4}}↓  ^{γ_{5}}↓
B_{1} ⟶^{β_{1}} B_{2} ⟶^{β_{2}} B_{3} ⟶^{β_{3}} B_{4} ⟶^{β_{4}} B_{5}

12. Tegyük fel, hogy az alábbi diagram kommutatív, és mindhárom oszlopa egzakt. Bizonyítsuk be, hogy ha két szomszédos sora egzakt, akkor a harmadik is.

0  0  0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ A_{1} ⟶^{α_{1}} B_{1} ⟶^{β_{1}} C_{1} ⟶ 0
λ_{1}↓  ^{μ_{1}}↓  ^{ν_{1}}↓
0 ⟶ A_{2} ⟶^{α_{2}} B_{2} ⟶^{β_{2}} C_{2} ⟶ 0
λ_{2}↓  ^{μ_{2}}↓  ^{ν_{2}}↓
0 ⟶ A_{3} ⟶^{α_{3}} B_{3} ⟶^{β_{3}} C_{3} ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0  0  0

13. Legyenek M_{i} algebrai struktúrák. Azt mondjuk, hogy az F az α_{i} : M_{i} → F homomorfizmusokkal együtt az M_{i} struktúrák szabad szorzata, ha minden N-re és β_{i} : M_{i} → N homomorfizmusokra egyértelműen létezik egy ψ : F → N homomorfizmus úgy, hogy minden i-re ψα_{i} = β_{i}. Határozzuk meg a szabad szorzatot a modulusok között; a halmazok között (művelet nincs); illetve a csoportok között akkor, ha az összes tényező szabad.

14. Tegyük fel, hogy α : A → C és β : B → C modulushomomorfizmusok. Azt mondjuk, hogy az M modulus a γ : M → A és a δ : M → B homomorfizmusokkal az előbbi két homomorfizmus pullback-je, ha αγ = βδ, és bármely kommutatív

M′ ⟶^{γ′} A
δ′↓  ↓^{α}
B ⟶^{β} C

diagram esetén egyértelműen létezik egy ψ : M′ → M homomorfimus, melyre γψ = γ′ és δψ = δ′. Mutassuk meg, hogy a pullback mindig létezik és egyértelmű. Fogalmazzuk meg és igazoljuk az állítás duálisát is (a duális fogalmat pushout-nak nevezzük).