Mat-alkmat szak, első évfolyam, második félév II/A zárthelyi (2002. május 23) — megoldásvázlatok

1. Bontsuk fel a csoportot az alaptétel szerint, tehát minden elem mindegyik komponensének prímhatvány a rendje. Egy 12 rendű elemnek kell, hogy legyen 4 rendű komponense, viszont ℤ_{9}^{+} nem szerepelhet, mert akkor lenne 18 rendű elem. Ezért pontosan ℤ_{8}^{+}×ℤ_{3}^{+}×ℤ_{3}^{+} és ℤ_{4}^{+}×ℤ_{2}^{+}×ℤ_{3}^{+}×ℤ_{3}^{+} lesz jó. Ezek az alaptétel egyértelműségi állítása miatt nem izomorfak.

2. Az eredmény (4!)(3!)^{4} = 2^{7}3^{5}. Az orbit-stabilizátoros leszámlálással ez kijön; a lényeg az, hogy a tetraéder csúcsai 4!-féleképpen mozoghatnak, és minden csúcs körül a lelógványok függetlenül 3!-féleképpen.

3. Ez a tízelemű D_{5} csoporttal izomorf, hiszen a megadott két permutció egy forgatásnak és egy tengelyes tükrözésnek felel meg. Az elemek ennek alapján felsorolhatók: az (12345) hatványai mellett az (12)(35), (23)(41), (34)(52), (45)(13), (51)(24) tükrözések szerepelnek.

4. Nem izomorfak, erre több indoklás is van. Az első faktorcsoport nem kommutatív, mert például f és t mellékosztályai nem felcserélhetők, a második pedig igen. Sőt, a második faktorcsoportban minden elem négyzete az egységelem, míg az elsőben például f mellékosztálya negyedrendű lesz. (Valójában az első faktor D_{4}, a második ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2}^{+}.)

5. Négyelemű. A ℤ_{4}^{+} csoport a = 0 és b = 1 választással kielégíti a relációkat. Megfordítva, bab^{−1} = a^{2}, innen ba^{2}b^{−1} = bab^{−1}bab^{−1} = a^{2}a^{2} = 1, tehát a^{2} = 1, és így 1b = ba miatt a = 1.

6. Csak a harmadrendű ciklikus csoport és S_{3} lesz megfelelő. Legyen az osztályegyenlet a+b+1 = |G|. Ekkor a és b is osztja a+b+1-et, tehát a | b+1 és b | a+1. Ha a = b, akkor a | a + 1 miatt a = 1, és így |G| = 3. Ha nem, hanem például a < b, akkor b | a + 1 ≤ b csak úgy lehet, ha b = a + 1, de ekkor a | b + 1 = a + 2 miatt a | 2, tehát a = 1 vagy a = 2. Az első esetben G rendje 4, a másodikban 6. Az első eset nem jó, mert akkor G Abel, és így négy konjugált osztálya van. A másik esetben a két hatelemű csoport közül a nemkommutatív megfelelő lesz.