Mat-alkmat szak, első évfolyam, második félév I/B zárthelyi (2001. ápr. 11) — megoldásvázlatok

1. Indefinit, például (4/5)|2x_{1} + ix_{2}|^{2} − (1/5)|x_{1} − 2ix_{2}|^{2} + |x_{3}|^{2}.

2. Az eredmény a következő (λ_{1} = 1 − \sqrt{3}i, λ_{2} = 1 + \sqrt{3}i):

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −4 & 2 \end{matrix} )^{n} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ λ_{1} & λ_{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} )^{n} \frac{1}{2\sqrt{3}i} ( \begin{matrix}λ_{2} & −1 \\ −λ_{1} & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−4a_{n−1} & a_{n} \\ −4a_{n} & a_{n+1} \end{matrix} )

ahol a_{n} = ((1 + \sqrt{3}i)^{n} − (1 − \sqrt{3}i)^{n})/2\sqrt{3}i (ami mellesleg (2^{n}/\sqrt{3}) sin(nπ/3)).

3. A v = [1, −1, 0, 0, …, 0]^{T} által generált egydimenziós altér ortogonális kiegészítő alteréről tudjuk, hogy 2002 − 1 = 2001-dimenziós. Az adott vektorok pontosan ezt generálják, hiszen minden vektor egy ugyanolyan irányú, 2 hosszú vektor alkalmas skalárszorosa.

4. Vegyük azt a Jordan-alakú mátrixot, melyben három darab kétszer kettes és egy darab egyszer egyes, a 7 sajátértékhez tartozó blokk van.

5. A megfelelő A transzformációra A^{∗} = −A^{2}, így A normális, tehát komplex felett ortonormált bázisban diagonalizálható. A kapott D diagonális mátrix is teljesíti a D^{∗} = −D^{2} összefüggést, azaz A minden komplex λ sajátértékre \overline{λ} = −λ^{2}. Innen λ-val szorozva |λ|^{2} = −λ^{3}, majd abszolút értéket véve |λ|^{2} = |λ|^{3} adódik. Mivel A bijektív, λ ≠ 0, és ezért |λ| = 1 (tehát A ortogonális), továbbá λ^{3} = −1. Az eredeti transzformáció valós, így vagy két konjugált komplex sajátérték van, vagy minden sajátérték valós. Az utóbbi esetben ezek értéke −1, tehát A a középpontos tükrözés. Az előbbi esetben A forgatás, és a sajátértékek mutatják, hogy ±60 fokos. Második megoldás: Ha M^{2} = −M^{T}, akkor M^{4} = (M^{T})^{2} = (M^{2})^{T} = −(M^{T})^{T} = −M. De M invertálható, így M^{2} = −M^{−1}, tehát M ortogonális. Mivel kétszer kettes, vagy forgatás, vagy tükrözés, vagy az identitás. Az M^{3} = −I miatt tehát vagy ±60 fokos forgatás, vagy a középpontos tükrözés. Harmadik megoldás: Közvetlen számolással is kijön, hogy M az egységmátrix ellentettje, vagy a ±60 fokos forgatás szokásos mátrixa. Ennek kultúrált végrehajtásához érdemes elsőnek észrevenni, hogy det M = 1, és utána felhasználni a Cayley-Hamilton tételből adódó M^{2} = tr(M)M − det(M)E összefüggést.

6. Igen. Mivel minden harmadfokú, valós együtthatós polinomnak van valós gyöke, ezért minden térbeli A lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjának is, tehát van egy valós λ sajátérték. Ha a megfelelő sajátaltér legalább kétdimenziós, akkor ennek tetszőleges kétdimenziós altere megfelel. Ha ez a sajátaltér csak egydimenziós, akkor a dimenziótételt az A − λI-re alkalmazva kapjuk, hogy Im(A − λI) megfelelő.