Mat-alkmat szak, első évfolyam, második félév I/A zárthelyi (2001. ápr. 11) — megoldásvázlatok

1. Indefinit, például (\sqrt{2}/4)|(1 − i)x_{1} + \sqrt{2}x_{2}|^{2} − (\sqrt{2}/4)|(1 − i)x_{1} − \sqrt{2}x_{2}|^{2} + |x_{3}|^{2}.

2. Az eredmény a következő:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ −2 & 2 \end{matrix} )^{n} = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 − i & 1 + i \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 − i & 0 \\ 0 & 1 + i \end{matrix} )^{n} \frac{1}{2i} ( \begin{matrix}1 + i & −1 \\ −1 + i & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−2a_{n−1} & a_{n} \\ −2a_{n} & a_{n+1} \end{matrix} )

ahol a_{n} = ((1 + i)^{n} − (1 − i)^{n})/2i (ami mellesleg 2^{n/2} sin(nπ/4)).

3. A v = [1, 1, …, 1]^{T} által generált egydimenziós altér ortogonális kiegészítő alteréről tudjuk, hogy 2002 − 1 = 2001-dimenziós. Az adott vektorok pontosan ezt generálják, hiszen minden vektor egy ugyanolyan irányú, 2 hosszú vektor alkalmas skalárszorosa.

4. Vegyük azt a Jordan-alakú mátrixot, melyben két darab kétszer kettes és három darab egyszer egyes, a −7 sajátértékhez tartozó blokk van.

5. A megfelelő A transzformációra A^{∗} = A^{2}, így A normális, tehát komplex felett ortonormált bázisban diagonalizálható. A kapott D diagonális mátrix is teljesíti a D^{∗} = D^{2} összefüggést, azaz minden λ komplex sajátértékre \overline{λ} = λ^{2}. Innen λ-val szorozva |λ|^{2} = λ^{3}, majd abszolút értéket véve |λ|^{2} = |λ|^{3} adódik. Mivel A bijektív, λ ≠ 0, és ezért |λ| = 1 (tehát A ortogonális), továbbá λ^{3} = 1, azaz λ harmadik egységgyök. Mivel az eredeti transzformáció valós, vagy két konjugált komplex sajátérték van, vagy minden sajátérték valós. Az utóbbi esetben ezek értéke 1, tehát A az identitás. Az előbbi esetben A forgatás, és a sajátértékek mutatják, hogy ±120 fokos. Második megoldás: Ha M^{2} = M^{T}, akkor M^{4} = (M^{T})^{2} = (M^{2})^{T} = (M^{T})^{T} = M. De M invertálható, így M^{2} = M^{−1}, tehát M ortogonális. Mivel kétszer kettes, vagy forgatás, vagy tükrözés, vagy az identitás. Az M^{3} = I miatt tehát vagy ±120 fokos forgatás, vagy az identitás. Harmadik megoldás: Közvetlen számolással is kijön, hogy M az egységmátrix, vagy a ±120 fokos forgatás szokásos mátrixa. Ennek kultúrált végrehajtásához érdemes elsőnek észrevenni, hogy det M = 1, és utána felhasználni a Cayley-Hamilton tételből adódó M^{2} = tr(M)M − det(M)E összefüggést.

6. Igen. Mivel minden harmadfokú, valós együtthatós polinomnak van valós gyöke, ezért minden térbeli A lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjának is, tehát van egy valós λ sajátérték. Ha a megfelelő sajátaltér legalább kétdimenziós, akkor ennek tetszőleges kétdimenziós altere megfelel. Ha ez a sajátaltér csak egydimenziós, akkor a dimenziótételt az A − λI-re alkalmazva kapjuk, hogy Im(A − λI) megfelelő.