Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Második zárthelyi, B feladatsor (2002. május 23)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve, valamint hogy a B feladatsorról van szó. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Izomorfia erejéig hány olyan 400 elemű Abel-csoport van, melyben van 20 rendű, de nincs 50 rendű elem?

2. Egy tetraéder minden csúcsáról lelógatunk két darab, három hosszú utat. Hány szimmetriája van a kapott 28 csúcsú, 30 élű gráfnak?

3. Adjuk meg S_{6}-ban az (123456) és (26)(35) által generált részcsoportot.

4. Izomorfak-e a D_{8}/{e, f^{4}} és a (Q × ℤ_{4}^{+})/{(1, 0), (−1, 0), (1, 2), (−1, 2)} faktorcsoportok? (Itt Q a kvaternió-, D_{8} a diédercsoport; azt nem kell bizonyítani, hogy ami szerint faktorizáltunk, az tényleg normálosztó.)

5. Hány elemű az ⟨a, b | a^{4} = b^{8} = 1, a^{2}b = ba⟩ csoport?

6. Adjuk meg izomorfia erejéig az összes olyan véges csoportot, melynek pontosan három konjugált osztálya van.