Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Második zárthelyi, A feladatsor (2002. május 23)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve, valamint hogy az A feladatsorról van szó. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Izomorfia erejéig hány olyan 72 elemű Abel-csoport van, melyben van 12 rendű, de nincs 18 rendű elem?

2. Egy tetraéder minden csúcsáról lelógatunk három darab, kettő hosszú utat. Hány szimmetriája van a kapott 28 csúcsú, 30 élű gráfnak?

3. Adjuk meg S_{5}-ben az (12345) és (12)(35) által generált részcsoportot.

4. Izomorfak-e a D_{16}/{e, f^{4}, f^{8}, f^{12}} és a (Q×ℤ_{2}^{+})/{(1, 0), (−1, 0)} faktorcsoportok? (Itt Q a kvaternió-, D_{8} a diédercsoport; azt nem kell bizonyítani, hogy ami szerint faktorizáltunk, az tényleg normálosztó.)

5. Hány elemű az ⟨a, b | a^{4} = b^{4} = 1, a^{2}b = ba⟩ csoport?

6. Adjuk meg izomorfia erejéig az összes olyan véges csoportot, melynek pontosan három konjugált osztálya van.