Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Első zárthelyi, B feladatsor ( 2002. ápr. 11)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve, valamint hogy a B feladatsorról van szó. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. A komplex feletti 3\overline{x_{1}}x_{1} + 2i\overline{x_{1}}x_{2} − 2i\overline{x_{2}}x_{1} + \overline{x_{3}}x_{3} kvadratikus alakot hozzuk négyzetösszeg alakra, és állapítsuk meg a karakterét. (A négyzetösszeg alakot az eredeti x_{1}, x_{2}, x_{3} változókkal kell felírni, tehát az új bázis vektorait is ki kell számítani.)

2. Legyen a_{0} = 0, a_{1} = 1 és a_{n+2} = 2a_{n+1} − 4a_{n}, ha n ≥ 0. Írjuk fel a sorozathoz tartozó mátrixot, adjuk meg a diagonális alakját és a megfelelő bázistranszformáció mátrixát, végül számítsuk ki a mátrix hatványainak és a sorozat általános elemének az explicit képletét.

3. Tekintsük az ℝ^{2002} euklideszi téret (a szokásos skaláris szorzattal), és ebben azokat a 2 hosszú vektorokat, melyek merőlegesek az [1, −1, 0, 0, …, 0]^{T} vektorra. Határozzuk meg ennek a vektorrendszernek a rangját ℝ felett.

4. Adjunk meg egy olyan hétszer hetes komplex mátrixot, melynek minimálpolinomja (x − 7)^{2}, és van pontosan 4-dimenziós sajátaltere.

5. A sík egy bijektív lineáris transzformációjának a szokásos bázisban felírt M mátrixára teljesül, hogy M^{T} = −M^{2}. Mi lehet ez a transzformáció?

6. Igaz-e, hogy a térben minden lineáris transzformációnak van kétdimenziós invariáns altere?