Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Kilencedik és további alkalmak (2002. április 30–∞)

1. Állapítsuk meg az alább felsorolt csoportok elemeinek centralizátorát, konjugált osztályait, normálosztóit és centrumát: D_{4}, Q, D_{3}, D_{5}, S_{4}, S_{5}, A_{4}, A_{5}, GL(2, 2).

2. Bizonyítsuk be azt az elmúlt félévben gyakorlaton már bizonyított állítást, hogy az S_{n} csoportban két elem akkor és csak akkor konjugált, ha a ciklusfelbontásuk „egyforma”, azaz minden k-ra a két felbontásban ugyanannyi k hosszú ciklus van. Vezessük le ebből, hogy S_{n}-ben az (12 … n) elem centralizátora a saját hatványaiból áll.

3. Legyen N kételemű normálosztó a G csoportban. Igazoljuk, hogy N ≤ Z(G).

4. Mutassuk meg, hogy ha egy G csoport azon elemei, melyeknek a négyzete az egységelem, részcsoportot alkotnak, akkor ez egyben normálosztó is. Igaz-e mindig, hogy ez a részhalmaz részcsoport?

5. Bizonyítsuk be, hogy ha G/Z(G) ciklikus csoport, akkor G Abel.

6. Határozzuk meg a GL(n, q) és a PSL(n, q) rendjét.

7. Igazoljuk, hogy GL(n, T) centruma az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból áll.

8. Legyen p > 2 prím. A GL(3, p) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlója alatt csupa 0, a főátlójában pedig csupa 1 áll. Igazoljuk, hogy egy p^{3} elemszámú G részcsoportot kaptunk, mely nem kommutatív, és minden egységtől különböző eleme p rendű. Határozzuk meg ennek a csoportnak a centrumát.

9. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, és N nemtriviális normálosztó P -ben, akkor |N ∩ Z(P)| > 1.

10^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, akkor minden p indexű részcsoportja normálosztó.

11^{∗}. Mutassuk meg n szerinti indukcióval, hogy A_{n} egyszerű, ha n ≥ 5.

12^{∗}. Milyen n-ekre van S_{n}-ben Q-val izomorf részcsoport?

13. Adjuk meg a ℤ_{2}^{+} × ℤ_{4}^{+} csoport összes negyedrendű elemét.

14. Legyenek G és H véges csoportok. Mutassuk meg, hogy a (g, h) ∈ G × H rendje a |g| és a |h| legkisebb közös többszöröse. Vezessük le ebből, hogy G × H akkor és csak akkor ciklikus, ha G is, H is az, és (|G|, |H|) = 1. Mi a helyzet, ha G és H nem feltétlenül véges?

15. Döntsük el, hogy az alábbi csoportok közül melyek bonthatók fel két valódi részcsoportjuk direkt szorzatára, és igenlő válasz esetén adjunk is meg egy-egy ilyen felbontást: ℤ_{6}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ^{+}, ℚ^{+}, ℂ^{+}, ℤ_{15}^{×}, ℤ_{16}^{×}, D_{3}, D_{4}, D_{6}, Q, A_{4}, S_{5}.

16. Hányféleképpen bontható direkt szorzatra ℤ_{5}^{+} × ℤ_{5}^{+}?

17. A véges Abel-csoportok alaptételének felhasználásával döntsük el, hogy izomorfia erejéig hány 6, 8, 16, 32, 48 rendű Abel-csoport van.

Fordíts!

18. Igazoljuk, hogy ha G és H csoportok, akkor Z(G × H) = Z(G) × Z(H).

19. Álljon G az S_{8} azon elemeiből, melyek az {1, 2, 3, 4} részhalmazt önmagába képzik. Mutassuk meg, hogy ez részcsoport, de nem normálosztó S_{8}-ban. Igaz-e, hogy G ≅ S_{4}×S_{4}?

20. Adjuk meg az S_{4} × ℤ_{3} × ℤ_{2} csoport egy kompozícióláncát, és kompozíciófaktorait.

21. Az alábbi, definiáló relációkkal megadott csoportoknak határozzuk meg a rendjeit, és döntsük el, izomorfak-e valamelyik „ismert” csoporttal.

a) ⟨a | a^{2} = 1⟩.

b) ⟨a | a^{3} = 1⟩.

c) ⟨a | a^{5} = 1, a^{7} = 1⟩.

d) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, ab = ba⟩.

e) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{3} = 1, ab = ba⟩.

f) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{5} = 1, aba^{−1} = b^{−1}⟩.

g) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{5} = 1, aba^{−1} = b^{2}⟩.

h) ⟨t, f | t^{2} = 1, f^{n} = 1, tft = f^{−1}⟩.

i) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, (ab)^{3} = 1⟩.

j) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, (ab)^{4} = 1⟩.

k) ⟨a, b | a^{4} = 1, b^{2} = a^{2}, bab^{−1} = a^{−1}⟩.

l) ⟨a, b | a^{7} = b^{3} = 1, bab^{−1} = a^{3}⟩.

m) ⟨a, b, c | a^{2} = b^{2} = c^{3} = 1, ab = ba, cac^{−1} = b⟩.

n) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{3} = 1⟩.

o) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{4} = 1⟩.

p) ⟨a, b | a^{3} = b^{4} = 1, ba = ab^{3}⟩.

q) ⟨a, b, c | a^{4} = b^{2} = c^{2} = 1, ac = ca, bc = cb, ab = ba^{3}⟩.

22. Legyen G tizedrendű nemkommutatív csoport. Bizonyítsuk be a következő állításokat, majd általánosítsunk arra az esetre, ha G rendje egy prím kétszerese.

a) G-ben nincs tizedrendű elem.

b) Ötödrendű elem nem lehet felcserélhető másodrendű elemmel.

c) G-ben nem lehet minden elem másodrendű (vö. VII/7).

d) G-ben van másodrendű elem (vö. VII/13).

e) G-ben van ötödrendű elem.

f) Minden ötödrendű elem centralizátora ötelemű.

g) Minden másodrendű elem centralizátora kételemű.

h) G-ben öt darab másodrendű elem van, és ezek mind konjugáltak.

i) G-ben négy darab ötödrendű elem van.

j) Ha |f| = 5 és |t| = 2, akkor tft^{−1} = f^{−1}.

k) G ≅ D_{5}.

23. Legyen N normálosztó a G csoportban. Rendeljük hozzá G/N tetszőleges K részcsoportjához a K elemeinek uniójából képzett L halmazt. Igazoljuk, hogy L részcsoport G-ben, melynek indexe G-ben ugyanaz, mint K indexe G/N-ben, és ez a megfeleltetés bijekció G/N összes részcsoportja, és a G csoport N-et tartalmazó részcsoportjai között, melynél G/N normálosztói éppen a G csoport N-et tartalmazó normálosztóinak felelnek meg. Igazoljuk azt is, hogy K ≅ L/N, és ha K normálosztó, akkor (G/N)/K ≅ G/L.