Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Nyolcadik alkalom (2002. április 23–25)

1. Mik az alábbi G ≤ S_{X} permutációcsoportokban az orbitok és a stabilizátorok? a) X a sík pontjai, G az origó körüli forgatások csoportja.

b) X a sík pontjai, G az x-tengellyel párhuzamos eltolások csoportja.

c) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportja.

d) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportjának egy adott csúcsot fixáló elemei.

e) X egy kocka csúcsai, G a kocka szimmetriacsoportjában az egyik csúcs stabilizátora.

f) X = {1, 2, 3, 4}, G = A_{4}.

g) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gx, a G csoport az f_{g} permutációkból áll.

h) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gxg^{−1}, a G csoport az f_{g} permutációkból áll (itt csak a stabilizátorok kellenek).

2. Az alábbi csoportoknak határozzuk meg a rendjét és az elemeiknek a rendjeit. a) Egy olyan téglalap szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

b) Egy olyan deltoid szimmetriacsoportja, amely nem rombusz.

c) Egy olyan rombusz szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

d) Egy négyzet szimmetriacsoportja.

3. Határozzuk meg az alábbi alakzatok szimmetriáinak számát.

a) Egy olyan téglatest, aminek mindhárom élhosszúsága különböző.

b) Egy olyan négyzet alapú egyenes hasáb, ami nem kocka.

c) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.

4. Rajzoljunk olyan gráfokat, melyeknek rendre pontosan 2, 4, 3, 1 szimmetriája van.

5^{∗}. Mutassuk meg, hogy minden véges csoport előáll egy alkalmas véges, irányítatlan (többszörös és hurokél nélküli) gráf szimmetriacsoportjaként.

6. Legyen G ≤ S_{X} és x, y ∈ X. Mutassuk meg, hogy ha g(x) = y, és x stabilizátora H, akkor y stabilizátora gHg^{−1}.

7. Legyenek A és B részcsoportok a G csoportban. Legyen X a B szerinti baloldali mellékosztályok halmaza, és hasson ezen A balszorzással, azaz legyen a ∗ (gB) = agB. Mutassuk meg, hogy hatást kaptunk, határozzuk meg a B orbitját és stabilizátorát, majd igazoljuk, hogy |AB| = |A||B|/|A ∩ B|.

8. Igazoljuk, hogy ha A ≤ S_{n} Abel-féle és tranzitív, akkor |A| = n.

9. Mutassuk meg, hogy S_{n}-ben minden pont stabilizátora maximális részcsoport.

10. Hasson a G véges csoport az X véges halmazon. Bizonyítsuk be, hogy a G orbitjainak száma éppen a G elemei fixpontjainak átlagos száma.

Fordíts!

11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím, és G tranzitív részcsoportja S_{p}-nek, mely tartalmaz transzpozíciót, akkor G = S_{p}.

12. Osztályozzuk az alábbi csoportokat aszerint, hogy melyek izomorfak közülük: ℤ_{2}^{+}, ℤ_{3}^{+}, ℤ_{4}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ_{3}^{×}, ℤ_{5}^{×}, ℤ_{6}^{×}, ℤ_{8}^{×}, ℤ_{12}^{×}, S_{2}, A_{3}, S_{3}, D_{3}, D_{4}, Q (a kvaterniócsoport), GL(2, 2).

13. Határozzuk meg izomorfia erejéig az összes négyelemű csoportot.

14. Van-e a kocka szimmetriacsoportjának S_{4}-gyel izomorf részcsoportja?

15. Keressük meg S_{4}-nek azt a részcsoportját, amit a Cayley-tétel bizonyítása a Kleincsoporthoz rendel. Tegyük meg ugyanezt S_{6}-ban a D_{3} csoporttal is.

16^{∗}. Mely véges csoportoknak van csak egy maximális részcsoportja?

17. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy homomorfizmusok-e. Ha igen, határozzuk meg a magjukat és a képüket.

a) G_{1} = GL(n, T), G_{2} = T^{×}, φ(A) = det(A).

b) G_{1} = S_{n}, G_{2} = ℤ^{×}, φ(f) az f előjele (azaz ±1).

c) G_{1} = ℤ^{+}, G_{2} = ℤ_{n}^{+}, φ(a) az a maradéka mod n.

d) G_{1} = D_{n}, G_{2} = ℤ_{2}^{+}, φ(x) = 0 ha x forgatás, 1 ha x tengelyes tükrözés.

18. A homomorfizmus-tétel alapján igazoljuk a következő izomorfizmusokat.

a) ℂ^{×}/egységkör ≅ pozitív valós számok a szorzásra . Milyen geometriai alakzatok ennek a faktorcsoportnak az elemei?

b) ℝ^{+}/ℤ^{+} ≅ komplex egységkör a szorzásra .

c) S_{n}/A_{n} ≅ ℤ^{×}.

d) ℤ^{+}/nℤ^{+} ≅ ℤ_{n}^{+}.

19. Normálosztó-e a H ≤ G részcsoport a következő esetekben?

a) G = ℤ^{+}, H = 3ℤ^{+} .

b) G = S_{3}, H = {id, (12)}.

c) G = S_{3}, H = {id, (123), (132)}.

d) G = S_{n}, H = A_{n}.

e) G = S_{4}, H = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

f) G = D_{6}, H = {f^{2}, f^{4}, f^{6} = e}.

g) G = D_{6}, H = {e, f^{3}, t, tf^{3}}.

h) G = GL(n, ℝ), H az 1 determinánsú mátrixok halmaza.

i) G = GL(n, ℝ), H a diagonális mátrixok halmaza.

j) G = GL(n, ℝ), H az egységmátrix nem nulla skalárszorosainak a halmaza.

k) G = GL(n, ℝ), H a felső háromszögmátrixok halmaza.

20. Igazoljuk, hogy ha N ◁ G és H ≤ G, akkor N ∩ H ◁ H.

21. Állapítsuk meg az alábbi faktorcsoportok elemeinek rendjeit, és írjuk fel a szorzástábláikat: D_{4}/{e, f^{2}}, S_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. A kapott faktorok izomorfak-e valamilyen ismert csoporttal?

22. Milyen ismert csoporttal izomorfak az alábbi faktorok: ℤ_{12}^{+}/{0, 6}, D_{8}/{e, f^{2}, f^{4}, f^{6}}, A_{4}/{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, D_{n}/{e, f, f^{2}, …, f^{n−1}}, ℤ_{16}^{×}/{1, 9}.