Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Hetedik alkalom (2002. április 16–18)

1. Határozzuk meg Lagrange tételének felhasználásával az S_{3} csoport összes részcsoportját, valamint az A_{4} alternáló csoport összes negyedrendű részcsoportját. Írjuk fel S_{3}-ban az {id, (12)} részcsoporthoz tartozó összes bal- és jobboldali mellékosztályt. Keressük meg ℤ_{12}^{+} és ℤ_{12}^{×} összes részcsoportját.

2. Legyen nℤ^{+} az n-nel osztható egész számok csoportja az összeadásra. Határozzuk meg |ℤ^{+} : nℤ^{+}| értékét.

3. Határozzuk meg a G csoportban az X által generált részcsoportot:

a) G = ℤ^{+}, X = {28, 34}.

b) G = S_{4}, X = {(123), (12)(34)}.

c) G = ℝ^{×}, X = {2, 3}.

d) G = GL(n, ℝ), X a 2 determinánsú mátrixok halmaza.

e) G = S_{n}, X = {(12), (12 … n)}.

4. Legyen f a D_{n} diédercsoportban egy 2π/n szögű forgatás, t pedig tetszőleges tengelyes tükrözés. Mutassuk meg, hogy D_{n} minden eleme egyértelműen felírható f^{i} vagy tf^{i} alakban, ahol 0 ≤ i < n. Igazoljuk azt is, hogy f^{i}t = tf^{−i} minden i egészre.

5. Határozzuk meg a D_{5} és D_{6} diédercsoportokban a ⟨t, f^{2}⟩ részcsoportot.

6. Mutassuk meg, hogy ha A és B részcsoportok egy G csoportban, akkor AB akkor és csak akkor részcsoport, ha AB = BA.

7. Igazoljuk, hogy ha a G csoport minden elemének a négyzete az egységelem, akkor G Abel. Igaz-e az állítás négyzet helyett negyedik hatványra?

8. Ciklikus-e a három-hatványadik komplex egységgyökök multiplikatív csoportja?

9. Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok additív csoportja nem végesen generált, sőt, minimális generátorrendszere sincs.

10. Mutassuk meg, hogy két véges indexű részcsoport metszete is véges indexű. Mennyi lehet a metszet indexe legfeljebb?

11. Igazoljuk, hogy minden nem egyelemű véges csoportban van prímrendű elem.

12. Mutassuk meg, hogy ha |g| és |h| relatív prímek, és gh = hg, akkor |gh| = |g||h|. Elhagyható-e a két feltétel valamelyike?

13. Igazoljuk, hogy |G| pontosan akkor páros, ha G-ben van másodrendű elem.

14. Legyen G csoport, H részcsoportja G-nek és g ∈ G. Mutassuk meg, hogy a g^{−1}Hg komplexusszorzat is részcsoport, melynek rendje ugyanaz, mint H rendje. Igaz-e, hogy a Hg jobboldali mellékosztály G egy alkalmas részcsoportja szerinti baloldali mellékosztály is egyben?

15^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy végesen generált csoportnak minden véges indexű részcsoportja végesen generált.