Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Ötödik alkalom (2002. március. 12–14)

Legyen a B szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa M. Végezzük el rajta a következő, módosított Gauss-eliminációt. Az elemi lépés most az, hogy az egyik sorból kivonjuk egy másik skalárszorosát, és ezután azonnal az ugyanannyiadik oszlopból is kivonjuk a megfelelő oszlop ugyanannyiszorosát. Hasonlóképpen kicserélhetünk két sort, és utána azonnal a megfelelő két oszlopot. Az M mátrixot a főátlóban lefelé haladva diagonalizáljuk ezekkel a lépésekkel, ezért elég azt megmutatni, hogy az első sor és oszlop nem átlóbeli elemei kinullázhatók. Ez nyilvánvaló akkor, ha a bal felső sarokban nem nulla áll. Ha ott nulla áll, de a főátló nem végig nulla, akkor a bal felső sarokba cserélünk egy nem nulla elemet. Végül ha a főátló végig nulla, akkor az első oszlop egy nem nulla elemének sorát adjuk hozzá az első sorhoz (és a megfelelő oszlopot is az első oszlophoz).

1. Tekintsük a −x^{2} + 10xy − y^{2} − z^{2} és a −3x\overline{x} + 4ix\overline{y} − 4i\overline{x}y + 3y\overline{y} − z\overline{z} kvadratikus alakot ℝ illetve ℂ felett. Írjuk fel ezek mátrixát, transzformáljuk őket négyzetösszeggé a fenti módszerrel is és a Gram-Schmidt eljárással is, végül határozzuk meg karakterüket.

2. Mely testek fölött diagonalizálható az x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} szimmetrikus bilineáris függvény? A valós test esetében adjuk meg az összes ortogonális bázist.

3. Legyen Q kvadratikus alak egy valós feletti vektortéren, e_{1}, …, e_{n} egy Q-ortogonális bázis, és U = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) > 0⟩, V = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) ≥ 0⟩, W = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) = 0⟩. E három altér közül melyek függetlenek az e_{1}, …, e_{n} bázistól?

4. Ellentmond x^{2} + y^{2} + (x + y)^{2} = (\sqrt{3}x)^{2} + (\sqrt{3}y)^{2} − (x − y)^{2} a tehetetlenségi tételnek? (Mindkettő négyzetösszeg, de az egyikben van egy mínusz előjel is. Hogy lehet ez?)

5. Igazoljuk, hogy a fenti eljárás diagonális mátrixhoz vezet. Hogyan módosul a bázis az elemi lépések során?

6^{∗}. Igazoljuk, hogy egy valós test feletti kvadratikus alak akkor és csak akkor pozitív definit, ha mátrixában a bal felső sarokban álló aldeterminánsok (az úgynevezett főminorok) mind pozitívak, és akkor és csak akkor negatív definit, ha a növekvő főminorok előjeleinek sorozata −, +, −, +, −, . . ..

7. Mely bilineáris függvények mátrixa nem függ a bázistól?

8. Egy bilineáris függvény antiszimmetrikus, ha B(u, v) = −B(v, u) minden u, v-re. Igazoljuk valós felett, hogy B akkor és csak akkor antiszimmetrikus, ha a hozzá tartozó kvadratikus alak nulla, továbbá hogy a bilineáris függvények tere a szimmetrikus és az antiszimmetrikus bilineáris függvények altereinek direkt összege.

9. Igazoljuk, hogy minden komplex bilineáris függvény egyértelműen írható A + Bi alakban, ahol A és B Hermitikus.

10. Legyen B pozitív definit bilineáris függvény. Igaz-e, hogy tetszőleges v_{1}, …, v_{n} vektorok akkor és csak akkor függetlenek, ha a |((B(v_{i}, v_{j}))| determináns nullától különböző?

11^{∗}. Mely valós szimmetrikus bilineáris függvényekre eleme minden nem nulla vektor egy ortogonális bázisnak?

12^{∗}. Mely B komplex bilineáris függvényekre igaz, hogy B(u, v) = 0 ⟺ B(v, u) = 0?