Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Negyedik alkalom (2002. március. 5–7)

1. Határozzuk meg a III/9.-beli mátrixok minimálpolinomját. Melyek azok a lineáris transzformációk a síkon, melyeknek minimálpolinomja elsőfokú? Melyeknek másodfokú? Melyek azok, amelyeknek a minimálpolinomja és a karakterisztikus polinomja különböző? Adjunk meg a síkon olyan lineáris transzformációt, melynek minimálpolinomja x^{2}.

2. Határozzuk meg egy általános diagonális mátrix minimálpolinomját.

3. Oldjuk meg ℚ^{2×2}-ben az X^{4} = 2X egyenletet.

4. Igazoljuk, hogy egy racionális elemű négyzetes mátrix minimálpolinomja ugyanaz ℚ és ℂ felett. (Használjunk fel egy korábban a gyakorlaton szerepelt állítást homogén racionális együtthatós egyenletrendszerek komplex megoldásairól).

5. Igazoljuk, hogy ha M invertálható mátrix, akkor M^{−1} polinomja M-nek.

6. Tekintsük Hom(V)-ben az {A^{i} | i = 0, 1, 2, … } (A^{0} = I) transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

7. Igaz-e, hogy tetszőleges legfeljebb n-edfokú m(x) polinomhoz van az n-dimenziós vektortérnek egy olyan lineáris transzformációja, amelynek m(x) a minimálpolinomja? Mely polinomok állnak elő egy alkalmas lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjaként?

8. Adjuk meg az alábbi mátrixok Jordan-alakját.

( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}−3 & −4 & 1 \\ 6 & 9 & −2 \\ 15 & 24 & −5 \end{matrix} )

9. Bizonyítsuk be, hogy ha M komplex elemű mátrix, akkor n → ∞ esetén M^{n} akkor és csak akkor tart nullához, ha M minden sajátértékének az abszolút értéke 1-nél kisebb.

10. Legyen T test, λ ∈ T, és M az az n × n-es Jordan-blokk, melynek főátlójában λ, az alatta levő, vele párhuzamos „ferde sorban” csupa 1-es, a mátrix többi helyén pedig mindenütt nulla áll. Igazoljuk, hogy ha f ∈ T [x], akkor az f(M) mátrix elemei a következők: a főátló felett csupa nulla áll, és a főátlóval párhuzamos, a főátlótól lefelé számított k-adik „ferde sor” mindegyik eleme f^{(k)}(λ)/k!, ahol a (k) kitevő k-adik deriváltat jelöl (0 ≤ k ≤ n − 1).

11. Legyen T a sík egy transzformációja, ami nem nyújtás. Igazoljuk, hogy ha T diagonalizálható, akkor négy invariáns altere van, ha nincs valós sajátértéke, akkor kettő, különben pedig három. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér.

12. Melyek azok a transzformációk, melyekre minden altér invariáns?

Fordíts!

13. Mutassuk meg, hogy ha AB = BA, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és Ker(A) is B-invariáns altér.

14. Van-e olyan M ∈ ℚ^{100×100} mátrix, melynek csak a két triviális invariáns altere van?

15. Tegyük fel, hogy A egy olyan lineáris transzformáció egy n-dimenziós téren, melynek n különböző sajátértéke van. Igazoljuk, hogy A-nak pontosan 2^{n} invariáns altere van. Igazoljuk azt is, hogy ha B felcserélhető A-val, akkor van olyan f polinom, hogy B = f(A).

16. Legyen A lineáris transzformáció egy komplex feletti n-dimenziós vektortéren. a) Igazoljuk, hogy ha k ≤ n, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

b) Mik lesznek A hatványainak sajátértékei? Mit mondhatunk ezek multiplicitásairól?

17. Legyen W altere a V vektortérnek, 𝔸 = Hom(V) mint algebra, és álljon 𝔹 az 𝔸 azon elemeiből, melyeknek W invariáns altere. Mutassuk meg, hogy 𝔹 részalgebrája 𝔸 -nak, és határozzuk meg a dimenzióját.

18. Legyen V egy véges dimenziós vektortér és A ∈ Hom(V). Igazoljuk, hogy van olyan k egész, melyre V = Im(A^{k}) ⊕ Ker(A^{k}).

19. Legyen A ∈ Hom(V) és g ∈ T [x], továbbá W = Im(g(A)) és U = Ker(g(A)). Igazoljuk, hogy az A transzformáció W -re illetve U-ra vett megszorításának minimálpolinomja m_{A}/(m_{A}, g) illetve (m_{A}, g). Vessük össze ezt az állítást az elem hatványának rendjéről szóló képlettel.

20^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy komplex elemű négyzetes mátrix akkor és csak akkor nilpotens, ha minden hatványának nulla a nyoma. Az első hány hatványra kell ezt feltenni?

21. Határozzuk meg a komplex számok ℝ feletti algebrájában a \sqrt{2}+1 minimálpolinomját.

22. Definiáljunk szorzást az (x, y)(u, v) = (xu + yv, xv + yu) képlettel a sík pontjainak vektorterén. Így egy ℝ feletti egységelemes algebrát kapunk. Mi lesz ebben a (3, 2) elem minimálpolinomja?

23. A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a, b ∈ ℤ. Határozzuk meg ebben a gyűrűben a legszűkebb olyan ideált, ami az 5 + 5i és a 7i − 1 számokat is tartalmazza, majd adjuk meg ennek az ideálnak az összes generátorelemét.

24. Legyen V véges dimenziós, A ∈ Hom(V) és 0 ≠ v ∈ V. Igazoljuk a következőket:

a) Azok a p polinomok, melyekre p(A)v = 0, ideált alkotnak T [x]-ben. Jelölje m_{A,v} ennek a normált generátorelemét.

b) m_{A} az összes m_{A,v} legkisebb közös többszöröse, midőn v befutja V -t.

c) W = ⟨v, Av, A^{2}v, … ⟩ épp a v-t tartalmazó legszűkebb A-invariáns altér.

d) dim(W) = gr(m_{A,v}).

e) Ha m_{A}-nak van k-adfokú irreducibilis osztója, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

f) Egy lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja akkor és csak akkor irreduci-

bilis, ha a transzformációnak csak két invariáns altere van (a triviálisak). Határozzuk meg az m_{A,v} polinomot tetszőleges v esetén, ha A a síkon egy tengelyes tükrözés, egy forgatás, valamint ha A a deriválás a polinomok vektorterén.