Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Harmadik alkalom (2002. feb. 26–28)

Vektorrendszer rangja az általa generált altér dimenziója, ami tetszőleges maximális független részrendszer elemszáma. Lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mind bármelyik tényező rangja. Lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának az oszloprangja. Mátrix oszloprangja ugyanaz, mint a sorrangja, és ez a Gauss-eliminációban fellépő vezéregyesek száma.

1. Az alábbi M mátrixok esetében határozzuk meg a v ↦ Mv leképezés mag- és képterét, valamint rangját.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

2. Határozzuk meg az {x^{2} + 2x + 2, 2x^{2} − 3x + 6, 3x^{2} − 8x + 10} polinomrendszer rangját.

3. Igazoljuk, hogy ha A és B összeadható lineáris leképzések, akkor r(A+B) ≤ r(A)+r(B). Adjunk példát arra az esetre, amikor egyenlőség áll, és arra is, amikor nem.

4. Legyenek A ∈ Hom(V, W) és B ∈ Hom(U, V). Igazoljuk, hogy a) Im(AB) ⊆ Im(A) és Ker(AB) ⊇ Ker(B);

b) ha AB injektív (illetve szürjektív), akkor B (illetve A) is az;

c) ha A és B is injektív (szürjektív, bijektív), akkor AB is az;

d) r(AB) = r(B) − dim(Ker(A) ∩ Im(B)) ≥ r(A) + r(B) − dim(V).

5. Legyenek V, W ugyanazon test feletti vektorterek, és v ∈ V egy rögzített vektor. Jelölje X azt a lineáris leképezést Hom(V, W)-ből W -be, ami az A leképezéshez A(v)-t rendeli. Határozzuk meg X rangját.

6. Éjfélkor a hétfejű sárkány megjelent a királylánynál, felírt egy 8 rangú, 13 × 21-es valós mátrixot, és a következőket mondta. „Minden reggel megváltoztathatod a mátrix egy elemét. Én minden éjjel eljövök, és én is megváltoztathatom a mátrix egy elemét. Ha a mátrix rangja hét lesz, akkor felfallak.” Érdemes-e a királylánynak bejárni az algebra előadásra?

A sárkány a királylány nyolcéves hugát is meglátogatta. „Neked egy 8 rangú 8 × 8-as mátrixot kell most rögtön felírnod. Minden reggel meg kell változtatnod a mátrix egy elemét (tehát a most felírt mátrixot már holnap reggel is). Én minden éjjel eljövök, és én is megváltoztatom a mátrix egy elemét. Mindketten mindig kötelesek vagyunk egyegy elemet ténylegesen meg is változtatni. Ha a mátrix rangját hétté tudom tenni, akkor felfallak.” Ez a lány már korábban megtanulta a lineáris algebrát. Életben maradt-e?

7. Ha egy n × n-es M mátrix rangja r, mi lesz annak a mátrixnak a rangja, amelynek elemei az M megfelelő ((n − 1) × (n − 1)-es) előjeles aldeterminánsai?

8^{∗}. Mely r egészekhez van olyan k ×n-es valós mátrix, amelynek rangja r, és egyik r×r-es aldeterminánsa sem nulla?

Fordíts!

9. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk illetve mátrixok sajátértékeit, sajátaltereit, karakterisztikus polinomját, minimálpolinomját, és Jordan-alakját.

a) Az alábbi mátrixok ℝ illetve ℂ felett:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 \\ 1 & α \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 & 0 \\ 1 & α & 0 \\ 0 & 1 & α \end{matrix} )

Melyek diagonalizálhatóak? Számítsuk ki az utolsó két mátrix n-edik hatványát.

b) A vektortér a sík ℝ felett, a transzformáció pedig az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás.

c) A transzformáció a deriválás az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemeinek vektorterén.

10. Legyen A egybevágósági transzformáció a térben, mely a P pontot helyben hagyja. Igazoljuk, hogy van olyan Q ≠ P pont, melyet A vagy helyben hagy, vagy P -re tükröz.

11. Egy város lakásait három kategóriába sorolják állapotuk szerint: elhanyagolt, átlagos, és kitűnő. A jelenlegi finanszírozási lehetőségek mellett az éves statisztikák azt mutatják, hogy az elhanyagolt lakások 60 százaléka elhanyagolt marad az év végére is, 30 százalékukat felújítják átlagos állapotúra, a maradék 10 százalékot pedig kitűnő állapotúra. Az átlagos állapotú lakások 20 százaléka leromlik elhanyagoltra, 70 százaléka marad átlagos állapotú, a maradék 10 százalékot pedig felújítják. Végül a kitűnő állapotú lakások 80 százaléka kitűnő állapotban marad, a maradék 20 százalék pedig leromlik átlagosra az év végére. Hosszú távon mi lesz a lakások állapotának eloszlása? [Eredmény: 2 : 4 : 3, százalékban közelítőleg 22.2 : 44.4 : 33.3, ez már 4-5 év alatt beáll, és nem függ a kiinduló eloszlástól.]

12. Az alábbi sorozatok általános elemét írjuk fel a mátrixhatványozás segítségével, majd a mátrixot diagonalizálva adjunk az eredményre explicit képletet.

a) a_{0} = a_{1} = 1, a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2} (Fibonacci-sorozat).

b) a_{0} = 5, a_{1} = 6, a_{2} = 10, a_{k} = 2a_{k−1} − a_{k−2} + 2a_{k−3}.

13. Adjunk explicit képletet az a_{k} és b_{k} számokra, amelyek rekurzív definíciója a következő: a_{0} = 1, b_{0} = 1, a_{k+1} = 2a_{k} + b_{k}, b_{k+1} = 2b_{k} − a_{k} (k ≥ 0).

14. Igazoljuk, hogy ha a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér k dimenziós, akkor λ legalább k-szoros gyöke a karakterisztikus polinomnak. Teljesül-e mindig az egyenlőség? Igaz-e, hogy a diagonalizálhatóság azzal ekvivalens, hogy a sajátalterek összege az egész tér?

15. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha λ sajátértéke A-nak, akkor λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek.

b) Ha λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek, akkor λ sajátértéke A-nak.

c) Ha 0 sajátértéke A^{2}-nek, akkor 0 sajátértéke A-nak.

16. Tegyük fel, hogy egy n × n-es M mátrix főátlójában és ezalatt csupa nulla áll. Igazoljuk, hogy M^{n} = 0.

17. Igazoljuk, hogy minden transzformációnak ugyanaz a karakterisztikus polinomja, mint (tetszőleges bázisban felírt) mátrixának, és hogy egy n × n-es M mátrix karakterisztikus polinomja n-edfokú polinom. Milyen kapcsolatban állnak az M karakterisztikus polinomjának együtthatói M nyomával illetve determinánsával? Mutassuk meg, hogy ha M-nek n különböző sajátértéke van, akkor ezek összege az M nyoma, szorzatuk az M determinánsa.