Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam második félév Második alkalom (2002. feb. 19–21)

Bizonyos vektorterekben egy-egy bázist a „szokásos” bázisnak nevezzük. Ezek a következők. A T test feletti T^{n} vektortérben azon e_{1}, …, e_{n} vektorok, melyekre e_{i}-nek az i-edik komponense 1, a többi komponens nulla. A T^{k×n} vektortérben azok a mátrixok, melyekben egyetlen komponens 1, a többi nulla (ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük). A T [x] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérben az {1, x, x^{2}, …, x^{n}} bázis. A síkon, mint ℝ feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok. A ℂ -ben, mint ℝ feletti vektortérben az 1 és az i. Egy T testben, mint önmaga feletti vektortérben az egységelem.

Egy A lineáris transzformáció nilpotens, ha van olyan n pozitív egész, hogy A^{n} = 0 (a nulla transzformáció), és A idempotens, ha A^{2} = A.

1. Határozzuk meg az alábbi vektorterek dimenzióját.

a) A komplex számok vektortere ℝ felett.

b) A legfeljebb n-edfokú T feletti polinomok a T test felett.

c) A T^{2×3} a T test felett.

d) A legfeljebb n-edfokú ℂ feletti polinomok ℝ felett. Mi általában az összefüggés egy vektortér ℝ és ℂ feletti dimenziója között?

e) Azon legfeljebb n-edfokú ℚ feletti polinomok ℚ felett, melyeknek 2 gyöke.

f) Az ℝ^{n} azon elemei ℝ felett, ahol az első koordináta is, a koordináták összege is 0.

g) A T^{n×n} (főátlóra) szimmetrikus mátrixai a T test felett.

2. A ℤ_{2}^{3} vektortérben hány direkt kiegészítő altere van egy egydimenziós altérnek?

3. Legyen V véges dimenziós vektortér, és U, W alterek V -ben. Bizonyítsuk be, hogy dim(U + W) = dim(U) + dim(W) − dim(U ∩ W).

4. Egy tízdimenziós térben kiválasztunk három kilencdimenziós alteret. Mekkora lehet a metszetük dimenziója? Adjunk példát minden lehetséges értékre.

5. Mutassuk meg, hogy n ≥ 2 esetén minden ℝ feletti n-dimenziós vektortérnek végtelen sok n − 1-dimenziós altere van.

6. Az alábbi A : V_{1} → V_{2} leképezések közül melyek lineárisak? Ahol a válasz igenlő, ott adjuk meg a leképezés mátrixát a szokásos, illetve a megadott bázis(pár)ban, határozzuk meg a kép- és magterét, és ellenőrizzük a dimenziótétel állítását.

a) V_{1} és V_{2} a sík ℝ felett, A egy eltolás; egy pont körüli forgatás; egy egyenesre (pontra) való tükrözés; egy egyenesre való vetítés. A mátrixot csak az origó körüli α szögű forgatás; az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges vetítés esetében számítsuk ki, a szokásos, illetve a b_{1} = (1, 2), b_{2} = (−1, 1) bázisban.

b) V_{1} = ℝ az ℝ felett, V_{2} = ℂ a ℂ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

c) V_{1} = V_{2} = ℂ az ℝ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

d) V_{1} = ℝ^{n}, V_{2} = ℝ az ℝ felett, A(v) a v komponenseinek az összege.

e) V_{1} = V_{2} = ℝ^{2×2} az ℝ felett, A a transzponálás (azaz a főátlóra való tükrözés).

f) V_{1} = ℝ[x] legfeljebb harmadfokú elemei, V_{2} = ℂ az ℝ felett, A(f) = f(i).

g) V_{1} = V_{2} = ℝ[x] legfeljebb n-edfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

Fordíts!

7. Ha egy lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban M, mi lesz a mátrix akkor, ha mindegyik bázisvektort (csak az első bázisvektort) a kétszeresére növeljük? Mely lineáris transzformációknak lesz minden bázisban ugyanaz a mátrixa?

8. Az A transzformáció mátrixa a sík szokásos bázisában ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ). Adjuk meg a bá-

zistranszformáció képletét felhasználva az A mátrixát az (1, 1), (1, 2) bázisban.

9. Legyen W a V véges dimenziós vektortér tetszőleges altere. Bizonyítsuk be, hogy V -nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere.

10. Legyen V véges dimenziós vektortér, A : V → V pedig egy lineáris transzformáció. Ha Im(A^{2}) = Im(A), következik-e ebből, hogy Ker(A^{2}) = Ker(A)? Igaz-e a megfordítás?

11. Mutassuk meg, hogy ha A idempotens lineáris transzformáció a V vektortéren, akkor Im(A) ⊕ Ker(A) = V. Igazoljuk, hogy a sík egy lineáris transzformációja akkor és csak akkor idempotens, ha nulla, az identitás, vagy egy origón átmenő egyenesre való (nem feltétlenül merőleges) vetítés.

12. Igazoljuk, hogy ha az A és B nilpotens, lineáris transzformációk felcserélhetők (azaz AB = BA), akkor A + B is nilpotens. Elhagyható-e a felcserélhetőség feltétele?

13. Legyen dim V < ∞ és A ∈ Hom(V). Igaz-e, hogy A pontosan akkor nilpotens, a) ha nem létezik olyan W ≤ V nem nulla altér, hogy A(W) = W?

b) ha tetszőleges W ≤ V nem nulla altérre dim A(W) < dim W?

14^{∗}. Legyen A egy n × n-es nilpotens mátrix. Igazoljuk, hogy A^{n} = 0.

15. Legyen V egy n-dimenziós vektortér és v, w ∈ V. Alteret alkotnak-e Hom(V)-ben az alábbi halmazok? Ha igen, hány dimenziós ez az altér?

a) {A ∈ Hom(V) | A(v) = w};

b) {A ∈ Hom(V) | A(v) ∈ ⟨w⟩}. Határozzuk meg Hom(V)-ben az izomorfizmusok által generált alteret.

16. Adjunk meg olyan A és B lineáris transzformációkat egy alkalmas V vektortéren, melyekre AB = I (az identitás), de BA nem az.

17. Legyenek V_{1} és V_{2} véges dimenziós vektorterek, és A ∈ Hom(V_{1}, V_{2}). Igazoljuk: a) Ha A szürjektív, akkor generátorrendszert generátorrendszerbe visz.

b) Ha A valamilyen halmazt generátorrendszerbe visz, akkor szürjektív.

c) Ha A injektív, akkor független halmazt függetlenbe visz.

d) Ha A egy bázist függetlenbe visz, akkor injektív.

e) Van olyan B lineáris leképezés, hogy ABA = A és BAB = B, és itt ha A szürjektív, akkor B jobbinverze, ha pedig A injektív, akkor B balinverze A-nak.

f) (AX = AY ⟹ X = Y) ⟺ A injektív ⟺ A balinvertálható.

g) (XA = Y A ⟹ X = Y) ⟺ A szürjektív ⟺ A jobbinvertálható.

18. Algebrát alkotnak-e ℝ felett az ℝ-en értelmezett, valós értékű, folytonos függvények a szokásos, pontonkénti műveletekre? És akkor, ha a szorzást a kompozícióval helyettesítjük?

További gyakorlásul a Freud-könyv negyedik és ötödik fejezetének feladatait javaslom, leginkább ezeket: 4.2.7, 4.2.12, 5.1.15, 5.3.4, 5.4.3, 5.6.19, 5.7.7, 5.7.8, 5.8.3, 5.8.7.