Alk. mat. gyakorlat, második évfolyam első félév Második zárthelyi (2002. dec. 19)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak és a szerző neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Számítsuk ki az alábbi M mátrixhoz tartozó karakterisztikus mátrix normálalakját, és adjuk meg M Jordan-alakját.

M = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

2. Mi az alábbi háló kongruenciahálója?

3. Jelöljük K-val a Klein-csoportot. Melyik ismert Abel-csoporttal izomorf Hom(K, ℤ_{6}^{+})?

4. Egy moduláris hálóban minden elemre igaz, hogy a komplementumai részhálót alkotnak (ha az elemnek van komplementuma). Következik-e ebből, hogy a háló disztributív?

5. Adjunk meg egy olyan A lineáris transzformációt a térben, mint ℝ feletti vektortérben, hogy ha a teret a szokásos módon az A-hoz tartozó ℝ[x]- modulusnak tekintjük, akkor ebben legyen x^{2} + 1-rendű elem.

6. Legyen A a páratlan nevezőjű törtekből álló Abel-csoport. Melyik ismert Abel-csoporttal izomorf az A-nak és a ℤ_{2}^{+} csoportnak a tenzorszorzata?