Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Nyolcadik alkalom (2002. november 21)

Ha A Abel-csoport és n ∈ ℤ, akkor nA = {na | a ∈ A}. Az A torziócsoport, ha minden eleme véges rendű; torziómentes, ha csak a 0 véges rendű; szabad, ha ℤ^{+} néhány példányának direkt összegével izomorf; osztható, ha az nA = A minden 0 ≠ n ∈ ℤ-re. ℤ_{p^{∞}} jelöli a komplex p-hatványadik egységgyökök csoportját a szorzásra (p prím).

1. Számítsuk ki a Hom(A, B), Hom(B, A), A ⊗ B Abel-csoportokat, ha (A, B) rendre (ℤ_{n}^{+}, ℤ^{+}); (ℤ_{n}^{+}, ℤ_{m}^{+}); (ℚ^{+}, ℤ_{n}^{+}); (ℚ^{+}, ℚ^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{n}^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{p^{∞}}) (mint ℤ-modulusok).

2. Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér. Írjuk fel V ⊗ V alábbi elemeit a lehető legrövidebb alakban (azaz minél kevesebb tenzor összegeként).

a) (1, 0) ⊗ (2, 4) + (2, 0) ⊗ (2, 4) + (3, 0) ⊗ (1, 2).

b) (1, 0) ⊗ (1, 0) + (1, 0) ⊗ (0, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0) + (0, 1) ⊗ (0, 1).

c) (1, 0) ⊗ (2, 2) + (1, 2) ⊗ (2, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0).

3. Igaz-e:

a) Osztható csoportnak bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata osztható.

b) Torziócsoport bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata torziócsoport.

c) Osztható csoportnak bármely torziócsoporttal vett tenzorszorzata nulla.

d) Két szabad Abel-csoport tenzorszorzata is szabad.

e) Ha A tetszőleges Abel-csoport, akkor ℤ_{n}^{+} ⊗ A ≅ A/nA.

4. Számítsuk ki A = ℤ^{+}, ℤ_{m}^{+}, ℤ_{p^{∞}}, ℚ^{+} esetén Hom(A, φ)-t, Hom(φ, A)-t és A ⊗ φ-t. Vizsgáljuk meg, hogyan függ össze φ és az eredmény injektivitása, illetve szürjektivitása.

a) φ : ℤ^{+} → ℤ^{+} az a homomorfizmus, ami minden elemhez az n-szeresét rendeli.

b) φ : ℤ_{m} → ℤ_{nm}, az n-nel szorzás.

c) φ : ℤ → ℤ_{n} a mod n vett maradék képzése.

d) φ a ℤ → ℚ beágyazás.

Ha M egy R-modulus, és X ⊆ M, akkor ann(X) = {r ∈ R | rX ⊆ {0}} az X annullátora. Az M modulus hű, ha ann(M) = {0}. Az {m} annullátorát (és ha R főideálgyűrű, akkor ennek az ideálnak a generátorelemét is) az m ∈ M elem rendjének nevezzük, jele o(m).

5. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák? Határozzuk meg a részmodulusokat, és a rendeket is, valamint, hogy mikor hű a kapott modulus.

a) Egy A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

b) Egy m exponensű A Abel-csoport ℤ_{m} felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

c) Ha T test, akkor T^{n} a T^{n×n} felett a mátrix-vektor szorzásra.

d) Ha V vektortér a T test felett, és A ∈ Hom(V), akkor V a T [x] felett a p ∘ v = p(A)v szorzásra. Hogyan kapcsolódik a rend fogalma a tavaly tanult m_{A,v} polinomokhoz? Milyen A esetén ciklikus ez a modulus, ha a V kétdimenziós?

6. Mutassuk meg, hogy ann(X) balideál, és ha X részmodulus, akkor kétoldali ideál. Vezessük le ebből, hogy balideál baloldali annullátora kétoldali ideál.

7. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

8. Általánosítsuk a hatvány rendjének képletét főidálgyűrű feletti modulusokra.