Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hetedik alkalom (2002. november 14)

1. Igazoljuk, hogy disztributív hálóban a komplementum, ha létezik, akkor egyértelmű.

2. Bizonyítsuk be, hogy minden halmaz partícióhálója komplementumos.

3. Mutassuk meg, hogy a moduláris hálók varietást alkotnak, ami önduális. Vezessük le a disztributív azonosságból a moduláris szabályt.

4. Igazoljuk, hogy komplementumos moduláris háló intervalluma is komplementumos.

5. Mutassuk meg, hogy moduláris hálóban nem lehet egy elemnek két különböző, összehasonlítható komplementuma.

6. A valós projektív síkon tekintsük a pontok, és az egyenesek halmazát. Mutassuk meg, hogy ezek az üres halmazzal és az egész síkkal kiegészítve moduláris hálót alkotnak. Egyszerű ez a háló? Négy általános helyzetű pont hány elemű részhálót generál?

7. Igazoljuk, hogy az intervallum-izomorfizmus tétel csak moduláris hálóban érvényes. 8^{∗}. Igazoljuk, hogy ha a G csoport direkt négyzetének részcsoporthálója moduláris, akkor G-ben minden részcsoport normálosztó.

9. Tegyük fel, hogy I ideálja, F pedig filtere az L disztributív hálónak. Legyen (a, b) ∈ θ_{I} akkor és csak akkor, ha van olyan x ∈ I, melyre a ∨ x = b ∨ x, és ψ_{F} a duális fogalom.

a) Bizonyítsuk be, hogy θ_{I} kongruencia, amelynek I osztálya.

b) Igazoljuk, hogy ha x ∈ I és y ∈ F esetén mindig x ≤ y, akkor θ_{I} ∩ ψ_{F} = 0_{L}.

10. Egy háló egy ideálját prímideálnak nevezzük, ha komplementere filter. Igazoljuk, hogy disztributív hálóban minden ideál része egy prímideálnak.

11. Határozzuk meg a szubdirekt irreducibilis disztributív hálókat.

12. Igazoljuk, hogy Boole-algebrában (x ∨ y)′ = x′ ∧ y′ és (x ∧ y)′ = x′ ∨ y′.

13. Mutassuk meg, hogy minden szubdirekt irreducibilis Boole-algebra kételemű.

14. Határozzuk meg a végesen generált szabad Boole-algebrák elemszámát. 15^{∗}. Mutassuk meg, hogy a három elemmel generált szabad háló végtelen. Rajzoljuk le az x, y, z elemekkel generált, x ∨ y = y (azaz x ≤ y) definiáló relációval megadott hálót. 16^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden végesen generált disztributív háló véges. Adjunk alsó és felső becslést az n elemmel generált disztributív háló elemszámára. 17^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden háló kongruencia-hálója disztributív.

18. Határozzuk meg egy modulus, illetve egy kommutatív gyűrű összes polinomját.

19. Bizonyítsuk be, hogy az A algebrában az a_{1}, …, a_{n} elemek által generált részalgebra a t^{A}(a_{1}, …, a_{n}) alakú elemekből áll, ahol t befutja az adott típusú n-változós termeket.

20. Igazoljuk az SH(K) ⊆ HS(K), PS(K) ⊆ SP(K), PH(K) ⊆ HP(K) összefüggéseket. 21^{∗}. Mi lesz a ℤ^{+} csoport illetve a ℤ gyűrű által generált varietás?

22. Adjunk struktúratételt az x^{2} = x azonossággal definiált gyűrűvarietás véges elemeire.