Mat-alkmat gyakorlat, második évfolyam, első félév Második alkalom (2002. szeptember 24–26)

1. Lineárisan független-e \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} a ℚ felett; \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} az ℝ felett; \{1, π, 1/π\} a ℚ felett?

2. Felírható-e a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban a \sqrt[6]{2} illetve a \sqrt{2}, ahol a, b, c racionális számok?

3. Határozzuk meg |ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) : ℚ| értékét.

4. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L egy testbővítés, α, β ∈ L, és gr_{K}(α) és gr_{K}(β) relatív prímek, akkor |K(α, β) : K| = gr_{K}(α)gr_{K}(β).

5. Határozzuk meg \sqrt[4]{2} fokát a ℚ(\sqrt{8}) és a ℚ(\sqrt[3]{7}) felett.

6. Legyen θ nem valós gyöke az x^{3} −2 polinomnak. Határozzuk meg θ fokát ℚ(\sqrt[3]{2}) felett, és a ℚ(θ) ∩ ℝ testet. Igaz-e, hogy ha K ≤ L ≤ M, és α ∈ M, akkor gr_{L}(α) | gr_{K}(α)?

7. Számítsuk ki az alábbi fokszámokat: a) |ℚ(cos 23^{∘} + i sin 23^{∘}) : ℚ|; b) |ℚ(\sqrt{2}\sqrt[3]{3}) : ℚ|;

c) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ(\sqrt{2}) felett; d) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ felett.

8. Legyen K részteste ℂ-nek, és b, c racionális számok. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ K(\sqrt{c}). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \sqrt{b} ∈ K, vagy \sqrt{b/c} ∈ K.

9. Legyen b négyzetmentes racionális szám (azaz két négyzetmentes egész hányadosa), és p_{1}, …, p_{n} prímek. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}). Bizonyítsuk be, hogy b kanonikus alakjában csak p_{1}, …, p_{n} szerepelhet. Ennek alapján mutassuk meg, hogy a prímszámok négyzetgyökei lineárisan függetlenek ℚ felett.

10. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b valós, akkor a + bi pontosan akkor algebrai (ℚ felett), ha a is és b is az.

11. Az alábbi számok közül melyek algebraiak, és melyek transzcendensek: π + 3, 5π + 6, π + \sqrt{2}, π^{2} + 2π + 2, \sqrt{π}.

12. Egy algebrai szám és egy transzcendens szám összege mikor algebrai? És a szorzatuk? Egy algebrai szám négyzete lehet-e transzcendens? És a négyzetgyöke?

13. Igazoljuk, hogy ℚ egyetlen véges bővítése sem lehet algebrailag zárt. Mutassuk meg, hogy a ℤ_{p} test nem algebrailag zárt. Melyek az algebrailag zárt véges testek?

14. Igazoljuk, hogy algebrai bővítések egymásutánja is algebrai.

15. Határozzuk meg az alábbi polinomok felbontási testének fokát ℚ felett: x^{2} +1, x^{4} −1, x^{4} + 1, x^{6} − 1, x^{6} − 2, (x^{2} − 2)(x^{3} − 2), (x^{2} − 2)(x^{2} − 3).

16. Mutassuk meg, hogy minden másodfokú bővítés normális.

17. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L ≤ M, és M/K normális, akkor M/L is az.

18^{∗∗∗∗}. Tegyük fel, hogy α és β komplex számok, melyek ℚ feletti foka relatív prím. Következik-e ebből, hogy α + β foka α és β fokainak szorzata?