Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Kilencedik alkalom

1. Az AB, BA, BC, CB − C műveletek közül végezzük el az elvégezhetőket, ha

A = ( \begin{matrix}1 & −3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}3 & 7 \\ 4 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 0 & 8 \end{matrix} ) .

2. Végezzük el az alábbi szorzást:

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} ) .

3. Jelölje E^{(i,j)} azt a 3 × 3-as mátrixot, amelynek i-edik sorában a j-edik elem 1, a mátrix összes többi eleme pedig 0. Mi történik, ha egy 3 × 3-as M mátrixot balról illetve jobbról megszorzunk E^{(i,j)}-vel?

4. Van-e olyan 3 × 3-as A mátrix, amellyel a bal illetve a jobb oldalról történő szorzás tetszőleges 3 × 3-as X mátrix első sorának elemeit megkétszerezi, az X összes többi elemét pedig ellentettjére változtatja?

5. Adjunk meg olyan 10 × 10-es A ≠ B mátrixokat és egy 10 × 100-as C ≠ 0 mátrixot, amelyekre AC = BC teljesül.

6. Tegyük fel, hogy a 10×10-es A és B mátrixokra AC = BC teljesül minden 10×100-as C mátrix esetén. Mutassuk meg, hogy akkor A = B.

7. Számítsuk ki az 5 × 5-ös N mátrix első öt hatványát, ahol

N_{i,j} = \{ \begin{matrix}1, ha i − j = 1; \\ 0, ha i − j ≠ 1. \end{matrix}

8^{∗}. Tegyük fel, hogy egy n × n-es M mátrix főátlójában és ez alatt csupa nulla van (azaz M_{i,j} = 0 ha i ≥ j). Bizonyítsuk be, hogy M^{n} = 0.

9. Legyenek A és B n×n-es mátrixok, n > 0 egész. Jelöljük az AB −BA mátrixot K-val. Számítsuk ki a ∑_{i=1}^{n} K_{i,i} összeget. (Ezt az összeget a K mátrix nyomának nevezzük.)

10. Az M és N mátrixok felcserélhetők, ha MN = NM. Határozzuk meg azokat a kétszer kettes mátrixokat, amelyek minden kétszer kettes mátrixszal felcserélhetők.

11. Mutassuk meg, hogy

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )^{2} − (a + d) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) + (ad − bc) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) .

12. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −E egyenlet? Adjuk meg az X^{2} = E egyenlet összes megoldását. (E az egységmátrix.)

13. Számítsuk ki a következő hatványokat, tetszőleges pozitív egész n kitevővel (α valós paraméter):

( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} )^{n} , ( \begin{matrix}1 & α \\ 0 & 1 \end{matrix} )^{n} .