Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hetedik alkalom

Módszerek az irreducibilitás eldöntésére ℚ és ℤ felett:

– Egy nem konstans polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℤ felett, ha irreducibilis ℚ felett, és primitív.

– Egy másod- vagy harmadfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha nincs racionális gyöke (használjuk a racionális gyöktesztet).

– Bontsuk fel a polinomot ℂ vagy ℝ felett, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

– A Schönemann-Eisenstein kritérium.

– f akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha egy eltoltja (f(x + c), c ∈ ℚ) az.

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

1. Egy T test feletti n-edfokú polinomot normáltnak hívunk, ha benne x^{n} együtthatója 1 (a T egységeleme). Lássuk be, hogy egy T fölötti legalább elsőfokú normált polinom egyértelműen bontható fel T fölötti normált irreducibilis polinomok szorzatára (eltekintve persze a tényezők sorrendjétől).

2. Bontsuk fel az x^{4} +9 polinomot ℂ, ℝ illetve ℚ fölött irreducibilis polinomok szorzatára.

3. Legyen c pozitív egész szám. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy x^{4} − c irreducibilis legyen ℝ illetve ℚ fölött? Mi a helyzet negatív c esetén?

4. Bontsuk fel az x^{4} − 10x^{2} + 1 polinomot ℝ felett felbonthatatlanok szorzatára (segítség a számoláshoz: a polinomnak gyöke a \sqrt{2} + \sqrt{3}). A kapott felbontást, és az alaptétel egyértelműségi állítását kihasználva adjuk meg a ℚ feletti felbontást is.

5. Bontsuk ℤ felett felbonthatatlanok szorzatára a 30x^{2}+24 és 10x^{2}+15x+6 polinomokat.

6. Az alábbi polinomok közül melyekre alkalmazható közvetlenül a Schönemann-Eisen-stein kritérium: x^{11} + 2x + 18 , x^{11} + 2x + 12 , x^{11} + 12x + 5 , x^{11} + n (n =?).

7. Legyen f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0} ∈ ℤ[x], és p prím. Tegyük fel, hogy az a_{n}, a_{n−1}, …, a_{1} együtthatók mindegyike osztható p-vel, a_{0} nem osztható p-vel, és a_{n} nem osztható p^{2}-tel. Igazoljuk, hogy ha deg f > 0, akkor f irreducibilis ℚ felett.

8. Irreducibilis-e ℚ felett x^{3} + 3 , x^{3} − 4 , x^{10} + 10 , x^{4} + 1 , x^{4} + 2 , 2x^{4} + 2x^{2} + 1 , x^{3} + 9 , x^{6} − 10x + 10 , x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1?

9. Van-e olyan legalább másodfokú ℚ[x]-beli f polinom, amelyhez tetszőleges r racionális számot adva, a kapott f + r polinom mindig irreducibilis ℚ felett?

10^{∗}. Van-e olyan legalább másodfokú ℚ[x]-beli f polinom, amelyhez tetszőleges r racionális számot adva, a kapott f + r polinom sohasem irreducibilis ℚ felett?

11^{∗}. Legyenek a_{1}, …, a_{n} egymástól különböző egész számok. Mutassuk meg, hogy ekkor az (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) − 1 polinom irreducibilis ℚ fölött.

12^{∗}. Legyenek a_{1}, …, a_{n} egymástól különböző egész számok. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan, akkor az (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) + 1 polinom irreducibilis ℚ fölött.

13^{∗}. Legyen f valós együtthatós polinom, mely minden valós helyen pozitív értéket vesz fel. Mutassuk meg, hogy f előáll két valós együtthatós polinom négyzetösszegeként.