Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hatodik alkalom

1. Legyen f ∈ ℚ[x] olyan n-edfokú polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes ilyen polinomot, melynek foka 12. Mutassuk meg, hogy ha g ∈ ℝ[x] és α ∈ ℂ, akkor α és \overline{α} ugyanannyiszoros gyöke g-nek.

2. Bontsuk fel a következő polinomokat az ℝ fölött irreducibilis polinomok szorzatára: x^{4} − 1, x^{6} − 4x^{3} + 3, x^{4} + 1, x^{4} + 4.

3. Írjuk fel az összes legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomot ℤ_{2}[x]-ben.

4. Bontsuk fel a ℤ_{2}[x]-beli x^{6} + x^{2} + x + 1 polinomot ℤ_{2}[x]-beli irreducibilisek szorzatára.

5. Adjunk meg olyan 2001-edfokú polinomot ℤ_{2}[x]-ben, amelynek nincsen gyöke ℤ_{2}-ben.

6^{∗}. Legyen n pozitív egész. Hányszoros gyöke a ℤ_{2}[x]-beli x^{n} + 1 polinomnak az 1?

7. Legyen T test, a_{1}, …, a_{n} egymástól különböző elemek T -ben, és 1 ≤ k ≤ n esetén

ℓ_{k} = \frac{(x − a_{1}) … (x − a_{k−1})(x − a_{k+1}) … (x − a_{n})}{(a_{k} − a_{1}) … (a_{k} − a_{k−1})(a_{k} − a_{k+1}) … (a_{k} − a_{n})} .

a) Legyenek c_{1}, …, c_{n} tetszőleges elemek T -ben. Adjunk meg olyan T [x]-beli f polinomot (a fenti ℓ_{i} polinomok segítségével) amelyre f(a_{k}) = c_{k} teljesül minden 1 ≤ k ≤ nre. Hány ilyen polinom van az n-nél kisebb fokú polinomok körében?

b) Határozzuk meg („zárt alakban”) az ℓ_{1} + ℓ_{2} + … + ℓ_{n} összeget.

8. Legyen n pozitív egész. Az n-edik komplex egységgyökök közül minden lehetséges módon kiválasztunk három különbözőt, és ezeket összeszorozzuk. Mi az összege ezeknek a szorzatoknak?

9. Határozzuk meg a 2x^{4} + 2x + 3 polinom komplex gyökeinek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

10. Legyen p prímszám.

a) Írjuk föl a ℤ_{p}[x]-beli x^{p−1} − 1 polinomot gyöktényezős alakban.

b) Adjunk a fenti gyöktényezős alak segítségével új bizonyítást a Wilson tételre.

c) Az előbbi módszerrel számítsuk ki az 1^{2} +2^{2} +⋯+(p−1)^{2} összeg maradékát mod p.

11. Bizonyítsuk be, hogy egy x^{18}+3x^{17}+100x^{16}+a_{15}x^{15}+…+a_{1}x+a_{0} alakú polinomnak nem lehet minden komplex gyöke valós.

12. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom (komplex) gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a+b, a+c, b+c. (Eredmény: x^{3} +6x^{2} +9x−1 illetve x^{3} + 3x − 1.)

13. Milyen összefüggést kell kielégíteniük a komplex együtthatós x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} polinom együtthatóinak ahhoz, hogy a polinom

a) valamelyik gyöke megegyezzen a másik két gyök összegével;

b) valamelyik gyöke megegyezzen a másik két gyök szorzatával;

c) gyökei számtani sorozatot alkossanak?

14. Osztható-e a ℂ[x]-beli 4x^{2000} + 4x^{1111} + 5x^{762} − 1 polinom x^{2} ± x + 1-gyel?