Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Ötödik alkalom

1. Végezzük el az alábbi műveleteket a komplex együtthatós polinomok körében, és állapítsuk meg az eredmény fokát.

a) (x^{3} + 3x^{2} + 2) − (x^{3} + 3x − 4).

b) (x^{2} + ix + 3)(x^{2} + i).

2. Írjuk fel az összes polinomfüggvényt ℤ_{2} fölött. Nullosztómentes gyűrűt alkotnak-e ezek?

3. Döntsük el, hogy az f(x) = x^{6} − 4x^{4} + x^{3} − x^{2} + 4 polinomnak gyöke-e a 2 szám, és írjuk is fel f(x)-et (x − 2)g(x) + f(2) alakban.

4. Hányszoros gyöke az x^{4} − x^{3} − x + 1 polinomnak az 1?

5. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

6. Írjuk fel az x^{3} − 1, az x^{2} − x + 1 és az x^{4} − x^{2} + 1 polinomokat gyöktényezős alakban. Honnan ismerősek a gyökök?

7. Írjuk fel az x^{4} +4 polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?

8. Mutassuk meg, hogy ha két n-edfokú komplex együtthatós polinom n (komplex) helyen megegyezik, és a főegyütthatóik egyenlők, akkor a polinomok is egyenlők.

9. Legyenek ε_{1}, …, ε_{n} az összes n-edik egységgyökök.

a) Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}).

b) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

Gyakorló feladatok

10. Határozzuk meg a ℤ_{10} gyűrű invertálható elemeit. Általánosítsuk a feladatot.

11. Gyűrűt ill. testet alkotnak-e azok a racionális számok (a racionális számok szokásos összeadására és szorzására) amelyek felírhatók olyan tört alakban, amelynek

a) a nevezője páratlan;

b) a nevezője 2-hatvány;

c) a számlálója páros, a nevezője pedig páratlan? Van-e egységelem, és (ha van, erre nézve) mely elemeknek létezik inverze?

12. Gyűrűt alkotnak-e a páros fokú valós együtthatós polinomok és a nullapolinom a polinomok szokásos műveleteire?

13. Írjuk fel az x^{n} +1 és az x^{2n} −x^{2n−1} +− ⋯−x+1 polinomokat gyöktényezős alakban.

14. Elvégezhető-e ℤ[x]-ben az x : 2 maradékos osztás?

15. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

16. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} − 1-gyel illetve x^{2} + 1-gyel?

17. Hány olyan elem lehet egy kommutatív testben, melynek négyzete az egységelem?