Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Negyedik alkalom

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között.

a) x^{3} − 6ix − i + 8 = 0. (A gyökök (1 + \sqrt{3}/2) + (1/2 + \sqrt{3})i, (1 − \sqrt{3}/2) + (1/2 − \sqrt{3})i, −2 − i, ehhez \sqrt{D} = ±(i/2 + 4), u = cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}, v = 2(cos 60^{∘} + i sin 60^{∘}).)

b) x^{3} + 12x − 16i = 0. (D = 0, u = 2(cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}), v = 2(cos 150^{∘} + i sin 150^{∘}), x^{3} + 12x − 16i = (x − 2i)^{2}(x + 4i), azaz a 2i kétszeres gyök.)

c) x^{3} − 21x + 20 = 0 (Számoljunk közelítőleg, scientific kalkulátorral végezve a trigonometrikus alakra való oda- és visszakonvertálást. Ekkor u = \overline{v} = \sqrt{7}(cos α + i sin α), ahol α ≈ 40.893^{∘}. Ha pontosan számolnánk ez 2 + i\sqrt{3} lenne. A gyökök 4, 1 és −5.)

2. Racionális szám-e \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}?

3. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán.

a) \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{1 − x} = 1.

b) \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{1 − x} = −1.

4. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az invertálható elemeket.

a) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

b) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℤ, a komplex számok összeadására és szorzására.

c) Az a + bi alakú számok, ahol a, b nemnegatív valós, a komplex számok összeadására és szorzására.

d) Az a+b\sqrt{3} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

e) Az a+b\sqrt[3]{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

f) A modulo 12 vett páros maradékok a modulo 12 összeadásra és szorzásra.

g) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése (tehát Y + Z elemei azok, melyek Y és Z közül pontosan egyben vannak benne), a szorzás pedig a metszetképzés.

5. Végezzük el a ℤ_{17} testben a 2/3 és az 5/12 osztásokat.

Gyakorló feladatok

6. Mi lesz sin α + i cos α trigonometrikus alakja?

7. Számítsuk ki (1 + cos x + i sin x)^{n} értékét.

8. Tegyük fel, hogy z + (1/z) = −\sqrt{2}. Mennyi z^{2001} + (1/z^{2001})?

9. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges z és w komplex számokra a) zw és z/w pontosan akkor valós, ha z és w valós vagy tisztán képzetes;

b) zw és z + w pontosan akkor valós, ha z és w valós vagy konjugáltak;

c) (z + w)/(z − w) akkor és csak akkor tisztán képzetes, ha |z| = |w|;

d) ha z egyszerre 60-adik és 100-adik egységgyök, akkor 20-adik egységgyök;

e) ha zw és z/w egységgyök, akkor z és w is az.

10. Rajzoljuk le: \{z : arg \frac{z − 3}{z + 1} = \frac{π}{2} \}, \{z : z^{4} = (\overline{z})^{6}\}, \{z : z^{6} = (\overline{z})^{6}\}.

11. Oldjuk meg az x^{3} + 3x + 2 = 0 és az x^{3} − 12x + 8\sqrt{2} = 0 egyenleteket ℂ-ben.