Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Harmadik alkalom

1. Határozzuk meg a II/3. feladatban szereplő számok rendjét.

2. Hogyan függ össze \overline{ε} illetve 1/ε rendje az ε rendjével?

3. Ha ε rendje osztható néggyel, mi lesz −ε rendje?

4. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan pozitív egész, akkor a 2n-edik primitív egységgyökök épp az n-edik primitív egységgyökök ellentettjei. (Először kis n számokra ellenőrizzük).

5. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet o(−iε)?

6. Mutassuk meg, hogy ha n > 0 egész, ε ∈ ℂ, és ε^{n} = i, akkor 4 | o(ε) ≠ ∞.

7. Szorozzuk össze a hatodik egységgyököket a negyedik egységgyökökkel az összes lehetséges módon. Hány különböző számot kapunk?

8. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Hány közös gyöke van az x^{n} = 1 és x^{m} = 1 egyenleteknek?

b) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

c) Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

d) Igazoljuk, hogy ha n és m relatív prímek, akkor minden nm-edik primitív egységgyök egyértelműen előáll egy n-edik és egy m-edik primitív egységggyök szorzataként.

e) Adjunk az eddigiek alapján új bizonyítást arra, hogy az Euler-függvény multiplikatív.

9. Határozzuk meg a primitív n-edik egységgyökök szorzatát.

10. Tetszőleges n pozitív egészre jelölje μ(n) a primitív n-edik egységgyökök összegét. a) Határozzuk meg μ(8) és μ(12) értékét.

b) Legyen p prímszám, k pozitív egész, ε pedig egy p^{k}-adik egységgyök. Mutassuk meg, hogy ε pontosan akkor nem primitív p^{k}-adik egységgyök, ha ε^{p^{k−1}} = 1. Ennek alapján határozzuk meg μ(p^{k}) értékét.

c) Bizonyítsuk be, hogy a μ függvény multiplikatív, azaz ha m és n relatív prímek, akkor μ(mn) = μ(m)μ(n).

d) Legyen az n kanonikus alakja n = p_{1}^{k_{1}} … p_{s}^{k_{s}}. Határozzuk meg μ(n) értékét.

11. Legyenek z_{1}, z_{2}, z_{3} és z_{4} a komplex számsík páronként különböző pontjai

a) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy z_{1}, z_{2} és z_{3} egy egyenesbe essen? (Milyen számnak kell lennie a (z_{2} − z_{1})/(z_{3} − z_{2}) hányadosnak?)

b) Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy z_{1}, z_{2}, z_{3} és z_{4} egy egyenesen vagy egy körön legyen? (Milyen számnak kell lennie a kettősviszonyuknak, azaz a

(z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}) = \frac{z_{3} − z_{1}}{z_{3} − z_{2}} / \frac{z_{4} − z_{1}}{z_{4} − z_{2}}

hányadosnak?)

c) Igazoljuk Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza rendre a, b, c, d, átlóinak hossza pedig e és f, akkor ac + bd ≥ ef, és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög húrnégyszög.