Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizenegyedik alkalom

1. Adjuk meg az alábbi permutációk inverziószámát és előjelét.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

2. Határozzuk meg az {1, 2, …, 100} halmaz alábbi permutációiban az inverziók számát: a) Előről hátra: f(i) = 101 − i;

b) Utolsó pár előre fuss: f(i) = i + 1 ha i < 100 és f(100) = 1;

c) f(i) = 2i ha 1 ≤ i ≤ 50 és 2(i − 50) − 1 ha 51 ≤ i ≤ 100;

d) f(i) = 2i ha 1 ≤ i ≤ 50 és 2(100 − i) + 1 ha 51 ≤ i ≤ 100.

3. Legyen f az {1, 2, …, n} halmaz egy permutációja, és legyen g az a permutáció, amelyre g(i) = n + 1 − f(i). Mi a kapcsolat f és g inverzióinak száma között?

4^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy n elemű halmaz egy permutációjának inverziószáma bármilyen n(n − 1)/2-nél nem nagyobb (nemnegatív egész) szám lehet, de ennél nagyobb nem.

5. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

6. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat a definíció alapján és Gauss-eliminációval is.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

7. Számítsuk ki a következő n × n-es mátrixok determinánsát.

a) A főátlóban d_{1}, … d_{n} van, másutt nulla.

b) A főátlóban d_{1}, … d_{n} van, felette bármi, alatta nulla.

c) A főátló feletti ferde sorban d_{1}, … d_{n−1} van, a bal alsó sarokban d_{n}, másutt nulla.

d) Az i-edik sor j-edik eleme i + j.

e) Az i-edik sor j-edik eleme ij.

f) A főátlóban végig b van, másutt mindenütt c.

g) A főátlóban végig 2 van, a mellette levő két ferde sorban 1, másutt nulla.

h) A főátló végig b, a mellékátló végig c, itt n páros.

i) A főátlóban álló elemek rendre 1, 0, 0, …, 0, 2, a főátló fölött minden elem 1-es, az első oszlop minden eleme 1-es, a többi elem nulla.

8. Hogyan változik egy n × n-es mátrix determinánsa, ha megfordítjuk az oszlopok sorrendjét; ha tükrözzük a mellékátlójára; ha plusz kilencven fokkal elforgatjuk?

9. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

10. Igazoljuk, hogy ha egy páratlan sok sorból álló négyzetes mátrixban a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egymás ellentettjei, akkor a determinánsa nulla. Mi történik, ha a feltevést úgy módosítjuk, hogy a megfelelő elemek egymás konjugáltjai legyenek?