Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizedik alkalom

1. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

2. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t darab (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános t = 0 t = 1 t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

3. Az alábbi sormátrixok halmazából válasszunk ki minél több elemű lineárisan független rendszert: \underline{a} = [1, 2, 4], \underline{b} = [1, 1, 2], \underline{c} = [0, 1, 2], \underline{d} = [0, 0, 3].

4. Döntsük el, hogy az alábbi rendszerek lineárisan függetlenek-e, összefüggők-e, illetve lehetnek-e ilyenek is és olyanok is:

a) lineárisan független rendszerből elhagyunk egyet;

b) lineárisan független rendszerhez hozzáveszünk egyet;

c) lineárisan összefüggő rendszerből elhagyunk egyet;

d) lineárisan összefüggő rendszerhez hozzáveszünk egyet;

e) a rendszer egyik eleme egy másiknak a négyszerese;

f) a rendszer egyik eleme két másiknak az összege;

g) a rendszer egyik eleme a csupa nullából álló oszlopmátrix.

5. Oldjuk meg a következő egyenleteket:

x [ \begin{matrix}−1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix} ] , x [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}11 \\ −7 \\ 2 \end{matrix} ] ,

x [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}11 \\ −7 \\ 4 \end{matrix} ] ,  [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} ] · X = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .

6. Legyen \underline{a}_{1}, …, \underline{a}_{n} lineárisan független rendszer. Függetlenek-e az alábbi rendszerek? a) \underline{a}_{1} + \underline{a}_{2} + … + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{2} + … + \underline{a}_{n}, …, \underline{a}_{n−1} + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n};

b) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n} − \underline{a}_{1} ;

c) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n};

d) \underline{a}_{1} + \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} + \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n} + \underline{a}_{1} ;

e) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n}.