Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Első alkalom

1. Végezzük el az alábbi műveleteket: (1 + i)(3 − 2i), 1/i, (1 + i)/(3 − 2i), |\overline{(4 + i)}/(4 + i)|, (1 + i)^{2}, (1 + i)^{2001}, |(1 + 2001i)^{100}/(1 − 2001i)^{100}|.

2. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között.

a) x^{2} + 1 = 0.

b) x^{2} = −12.

c) x^{2} + 2x + 2 = 0.

d) x^{2} + 2ix − 1 = 0.

3. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i − 21. Oldjuk meg az x^{2} + (i − 2)x + (6 − 6i) = 0 egyenletet.

4. Rajzoljuk le a komplex számsíkon a következő halmazokat: {z : Re(z + 2i) ≤ −2}, {z : Re(z + 1) ≥ Im(z − 3i)}, {z : |z − i − 1| ≤ 3}, {z : |z − 3 + 2i| = |z + 4 − i|}, \{z : z + \overline{z} = −1\}, \{z : 2z + 5 = 2\overline{z}\}, \{z : 1/z = \overline{z}\}, \{z : (1/z) + 8 = \overline{z}\}, \{z : |z| = iz\}.

5. Legyenek z = a + bi és w = c + di különböző komplex számok. Írjuk fel az alábbi „alakzatok egyenletét” komplex számok segítségével. Ha lehet, az eredményben ne szerepeljen a, b, c, d, csak z és w.

a) A z-t w-vel összekötő szakasz felezőpontja.

b) A z-t w-vel összekötő szakasz felező merőlegese.

c) A z-t w-vel összekötő egyenes.

d) Az origóból z-be mutató vektor +90 fokos elforgatottja.

e) A w-ből z-be mutató vektor +90 fokos elforgatottja.

f) A z pont w körüli +90 fokos elforgatottja.

g) A z középpontú, w-t tartalmazó körvonal.

h) A z merőleges vetülete az x + 2y = 0 egyenesre.

j) A z tükörképe az x + 2y = 0 egyenesre.

k) Annak a négyzetnek a csúcsai, amelynek a z-t w-vel összekötő szakasz átlója.

6. A sík mely geometriai transzformációinak felelnek meg a komplex számok halmazának alábbi leképezései?

a) z → 3z + 2.

b) z → (1 + i)z.

c) z → 1/\overline{z}.

7. Egy háromszög oldalaira kifelé szabályos háromszögeket rajzolunk. Mutassuk meg, hogy ezek középpontjai is szabályos háromszöget alkotnak.

8. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket ℂ-ben.

a) x^{2} = i.

b) x^{2} + 3x + 4 = 0.

c) x^{2} − (2 + i)x + 7i − 1 = 0.

d) (2 + i)x^{2} − (5 − i)x + 2 − 2i = 0.

e) x = (3 + 2i)\overline{x}.

f) x = 2 · Re(x).