Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Kilencedik alkalom

1. Melyek modulárisak a IX/1. feladatban lerajzolt hálók közül?

2. Mutassuk meg, hogy a moduláris hálók varietást alkotnak, ami önduális. Vezessük le a disztributív azonosságból a moduláris szabályt.

3. Igazoljuk, hogy komplementumos moduláris háló intervalluma is komplementumos.

4. Mutassuk meg, hogy moduláris hálóban nem lehet egy elemnek két különböző összehasonlítható komplementuma.

5. A valós projektív síkon tekintsük a pontok, és az egyenesek halmazát. Mutassuk meg, hogy ezek az üres halmazzal és az egész síkkal kiegészítve moduláris hálót alkotnak. Egyszerű ez a háló? Négy általános helyzetű pont hány elemű részhálót generál?

6. Mutassuk meg, hogy ha egy véges hálóban a magasságfüggvény teljesíti a dimenzióegyenlőséget, akkor a háló moduláris.

7. Igazoljuk, hogy az intervallum-izomorfizmus tétel csak moduláris hálóban érvényes. 8^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha egy véges moduláris hálóban a nullát fedő elemek (azaz az atomok) egyesítése 1, akkor a háló komplementumos.

9. Bizonyítsuk be a Jordan-Dedekind tételt.

10. Igazoljuk, hogy Boole-algebrában (x ∨ y)′ = x′ ∧ y′ és (x ∧ y)′ = x′ ∨ y′.

11. Mutassuk meg, hogy minden szubdirekt irreducibilis Boole-algebra kételemű.

12. Mutassuk meg, hogy a Boole-algebrák varietása kongruencia-felcserélhető.

13. Határozzuk meg a végesen generált szabad Boole-algebrák elemszámát.

14. Adjunk struktúratételt az x^{2} = x azonossággal definiált gyűrűvarietás véges elemeire.

15. Igazoljuk, hogy ha a G csoport direkt négyzetének részcsoporthálója moduláris, akkor G-ben minden részcsoport normálosztó.

16. Legyen F az {x, y, z} generálta szabad algebra egy V varietásban.

a) Legyen φ : F → F az az endomorfizmus, melyre φ(x) = x, φ(y) = x, φ(z) = z. Igazoljuk, hogy Ker(φ) a legszűkebb olyan kongruencia, melynél x és y kongruens.

b) Tegyük fel, hogy m ≡ z ennél a kongruenciánál, és m = t^{F} (x, y, z) egy t termre. Bizonyítsuk be, hogy V -ben teljesül a t(x, x, z) = z azonosság.

c) Mutassuk meg, hogy ha V kongruencia-felcserélhető, akkor van Malcev-termje.

17. Bizonyítsuk be, hogy ha A a B és C algebrák szubdirekt szorzata egy kongruenciafelcserélhető varietásban, akkor van olyan θ kongruencia B-n, és olyan ψ kongruencia C-n, valamint egy φ : B/θ → C/ψ izomorfizmus úgy, hogy A = {(b, c) | φ(b/θ) = c/ψ}.

18. Mutassuk meg, hogy ha egy kongruencia-felcserélhető varietásban egy algebra véges sok egyszerű algebra szubdirekt szorzata, akkor izomorf néhány tényező direkt szorzatával. 19^{∗∗∗}. Mutassuk meg, hogy ha egy varietásban a véges algebrák között csak véges sok direkt irreducibilis van, akkor a varietás véges algebrái kongruencia-felcserélhetőek.