Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Nyolcadik alkalom

1. Döntsük el az alábbi részben rendezett halmazokról, hogy hálók-e, és ha igen, akkor disztributívak-e, illetve komplementumosak-e. Amelyek hálók, azoknak rajzoljuk le a kongruenciahálóját és a részháló-hálóját. Melyek lesznek egyszerűek, illetve szubdirekt irreducibilisek? Adjuk meg a második hálónak az elsőbe menő rendezéstartó leképezéseit, és válogassuk ki ezek közül a háló-homomorfizmusokat. Mindegyik lerajzolt hálóban keressünk minimális elemszámú generátorrendszert.

2. Igazoljuk, hogy egy ≡ ekvivalencia-reláció pontosan akkor háló-kongruencia, ha minden c-re a ≡ b-ből a∨c ≡ b∨c és a∧c ≡ b∧c következik. Általánosítsuk ezt tetszőleges algebrára. Mutassuk meg, hogy az egyváltozós polinomok megőrzik a kongruenciákat.

3. Vezessük le mindkét disztributív szabályból a másikat.

4. Tegyük fel, hogy I ideálja, F pedig filtere az L disztributív hálónak. Legyen (a, b) ∈ θ_{I} akkor és csak akkor, ha van olyan x ∈ I, melyre a ∨ x = b ∨ x, és ψ_{F} a duális fogalom.

a) Bizonyítsuk be, hogy θ_{I} kongruencia, amelynek I osztálya.

b) Igazoljuk, hogy ha x ∈ I és y ∈ F esetén mindig x ≤ y, akkor θ_{I} ∩ ψ_{F} = 0_{L}.

5. Egy háló egy ideálját prímideálnak nevezzük, ha komplementere filter. Igazoljuk, hogy disztributív hálóban minden ideál része egy prímideálnak.

6. Igazoljuk, hogy disztributív hálóban a komplementum, ha létezik, akkor egyértelmű.

7. Bizonyítsuk be, hogy minden halmaz partícióhálója komplementumos. 8^{∗}. Mutassuk meg, hogy a három elemmel generált szabad háló végtelen. Rajzoljuk le az x, y, z elemekkel generált, x ∨ y = y (azaz x ≤ y) definiáló relációval megadott hálót. 9^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden végesen generált disztributív háló véges. Adjunk minél jobb alsó és felső becslést az n elemmel generált disztributív háló elemszámára. 10^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden háló kongruencia-hálója disztributív.

11. Bizonyítsuk be, hogy az A algebrában az a_{1}, …, a_{n} elemek által generált részalgebra a t^{A}(a_{1}, …, a_{n}) alakú elemekből áll, ahol t befutja az adott típusú n-változós termeket.

12. Határozzuk meg egy modulus, illetve egy kommutatív gyűrű összes polinomját. 13^{∗}. Mi lesz a ℤ^{+} csoport illetve a ℤ gyűrű által generált varietás? 14^{∗∗}. Határozzuk meg az S_{3} csoport által generált varietás szubdirekt irreducibiliseit. 15^{∗∗}. Adjuk meg a Q illetve a D_{4} csoport által generált varietást véges sok azonossággal.

16. Igazoljuk az SH(K) ⊆ HS(K), PS(K) ⊆ SP(K), PH(K) ⊆ HP(K) összefüggéseket.

17. Fogalmazzuk meg és lássuk be az általános homomorfizmus- és két izomorfizmus-tételt.

18. Oldjuk meg a valós együtthatós kvaterniók között az x^{2} = −1 egyenletet.