Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Hetedik alkalom

A feladatsoron minden gyűrű egységelemes, és nem feltétlenül kommutatív. Egy modulust teljesen reducibilisnek nevezünk, ha irreducibilis (=egyszerű) modulusok összege. Az M modulus M_{α} (α ∈ A) részmodulusait akkor nevezzük függetlennek, ha összegük direkt összeg (azaz bármelyiknek a többi összegével vett metszete csak a nullából áll).

1. Legyen az M modulus az M_{α} (α ∈ A) egyszerű részmodulusainak összege, és N egy részmodulusa M-nek. Mutassuk meg, hogy van olyan B ⊆ A, hogy M_{β} (β ∈ B) függetlenek, és ha (direkt) összegüket K jelöli, akkor M = N ⊕ K.

2. Legyen M az M_{α} (α ∈ A) egyszerű részmodulusainak összege. Bizonyítsuk be, hogy a) M minden része és faktora is teljesen reducibilis, és minden része direkt összeadandó;

b) M minden egyszerű része illetve faktora izomorf valamelyik M_{α} modulussal.

3. Legyen R egyszerű gyűrű, melynek van egy J minimális balideálja. Igazoljuk, hogy _{R}R teljesen reducibilis modulus, és minden egyszerű R-modulus izomorf _{R}J–vel.

4. Legyen az R gyűrű k darab ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű direkt szorzata. Mutassuk meg, hogy R felett pontosan k darab nemizomorf egyszerű modulus van.

5. Mutassuk meg, hogy az R gyűrűre az alábbiak ekvivalensek.

(1) Minden R-modulus projektív (injektív).

(2) Minden R-modulus minden részmodulusa direkt összeadandó.

(3) Minden R-modulus teljesen reducibilis.

(4) R féligegyszerű Artin-gyűrű.

6. Legyen D ferdetest. Mutassuk meg, hogy a D^{n×n} centruma a dE skalármátrixokból áll, ahol d ∈ Z(D) és E az egységmátrix.

7. Tegyük fel, hogy A az F algebrailag zárt (kommutatív) test feletti féligegyszerű Artinalgebra. Bizonyítsuk be, hogy a felbontásában szereplő ferdetestek mind F -fel izomorfak, és a szereplő komponensek száma (azaz az irreducibilis A-modulusok száma) dim_{F} Z(A).

8. Határozzuk meg az alábbi gyűrűk radikálját: egy főideálgyűrű egy faktorgyűrűje; a páratlan nevezőjű törtek; a 2-hatvány nevezőjű törtek; a komplex felső háromszögmátrixok.

9. Legyen J maximális balideálja az R gyűrűnek, és I az R/J faktormodulus annullátora. a) Igazoljuk, hogy I a legnagyobb olyan ideálja R-nek, mely része J-nek.

b) Legyen 0 ≠ u ∈ R/J. Mutassuk meg, hogy u annullátora maximális balideál.

c) Mutassuk meg, hogy I előáll az R alkalmas, maximális balideáljainak metszeteként.

d) Vezessük le ebből, hogy R radikálja a maximális balideálok metszete.

10. Mutassuk meg, hogy a radikálban csak a nulla lehet idempotens elem.

11. Igazoljuk, hogy ha x eleme a radikálnak, akkor 1−x-nek van jobbinverze is. Mutassuk meg, hogy a radikál nem függ attól, hogy bal- vagy jobboldali modulusokkal definiáljuk, és hogy féligegyszerű gyűrű esetén a bal- és jobboldali Artin-tulajdonság is ekvivalens.

12. Igazoljuk, hogy minden véges gyűrű kommutatív, melyben igaz az x^{n} = x azonosság.

13. Igazoljuk, hogy ha egy gyűrűben 1 − ab invertálható, akkor 1 − ba is.