Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Hatodik alkalom

1. Racionális szám-e \sqrt[127]{2} + \sqrt[298]{3 + \sqrt{5}}?

2. Bizonyítsuk be, hogy az α ∈ ℂ szám akkor és csak akkor algebrai egész, ha ℚ feletti (normált) minimálpolinomja egész együtthatós.

3. Határozzuk meg az ℚ[\sqrt{7}] illetve a ℚ[\sqrt{5}] gyűrűk algebrai egész elemeit.

4. Van-e olyan 1 abszolút értékű komplex szám, ami nem egységgyök, de algebrai egész?

5^{∗}. Legyen az f(x) polinom minden együtthatója algebrai egész.

a) Igaz-e, hogy ha f normált, akkor minden gyöke algebrai egész?

b) Igazoljuk, hogy ha f tetszőleges számú gyökének szorzatát megszorozzuk f főegyütthatójával, akkor algebrai egészet kapunk.

6^{∗}. Legyen M egy n×n-es komplex elemű mátrix, aminek valamelyik hatványa az egységmátrix. Mutassuk meg, hogy ha M nyoma egy algebrai egész n-szerese, akkor ez a nyom vagy nulla, vagy M skalármátrix.

7^{∗}. Igaz-e, hogy ℤ[x_{1}, …, x_{n}] minden maximális ideálja véges indexű, és alkalmas p prímre és m > 0 egészre tartalmazza a (p, x_{1}^{p^{m}} − x_{1}, …, x_{n}^{p^{m}} − x_{n}) ideált?

8. Legyen E ⊆ X × Y páros gráf, A ⊆ X esetén A^{♯} azon y ∈ Y elemek halmaza, melyek A minden elemével össze vannak kötve, és definiáljuk B ⊆ Y esetén a B^{♭} ⊆ X halmazt analóg módon. Az A illetve B lezártja A^{♯♭} illetve B^{♭♯}. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ X ⟹ A_{1}^{♯} ⊇ A_{2}^{♯} és B_{1} ⊆ B_{2} ⊆ Y ⟹ B_{1}^{♭} ⊇ B_{2}^{♭}.

b) A^{♯♭♯} = A^{♯} és B^{♭♯♭} = B^{♭}, speciálisan A^{♯♭} és B^{♭♯} már zártak.

c) Az X illetve az Y zárt részhalmazai egymással kölcsönösen egyértelmű, rendezésfordító megfeleltetésben állnak. (Az ilyen megfeleltetést Galois-kapcsolatnak nevezzük.)

9. Bizonyítsuk be, hogy a lineáris függésre, függetlenségre és dimenzióra vonatkozó tételek érvényben maradnak ferdetest fölött is.

10. Legyen V véges dimenziós vektortér egy ferdetest fölött, és R = Hom(V). Húzzunk élt v ∈ V és A ∈ R között pontosan akkor, ha Av = 0. Bizonyítsuk be, hogy a kapott Galois-kapcsolatban a zárt halmazok pontosan az alterek, illetve a balideálok.

11. Legyen T ferdetest, V = T^{n} (mint baloldali vektortér T fölött), és R = T^{n×n} a teljes mátrixgyűrű. Bizonyítsuk be, hogy R balideáljai és V alterei között kölcsönösen egyértelmű, rendezéstartó megfeleltetés a következő: egy altérhez azoknak a mátrixoknak a halmaza tartozik, amelyek minden sora az adott altérnek eleme. Mutassuk meg az analóg állítást jobbideálokra/oszlopokra.

12. Legyen R egységelemes gyűrű. Mutassuk meg, hogy az R^{n×n} teljes mátrixgyűrű ideáljai pontosan az I^{n×n} gyűrűk, ahol I ideálja R-nek. Speciálisan ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű gyűrű.

13. Legyenek M_{1}, …, M_{k} maximális ideálok egy egységelemes, nem feltétlenül kommutatív R gyűrűben. Bizonyítsuk be, hogy R/(M_{1} ∩ ⋯ ∩ M_{k}) izomorf az R/M_{i} gyűrűk közül néhánynak a direkt szorzatával. Keressük meg az állítás csoportelméleti analogonját.