Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Ötödik alkalom

1. Igazoljuk, hogy ha R kommutatív egységelemes gyűrű, és R[x] Noether, akkor R is az.

2. Igazoljuk, hogy ha R kommutatív, egységelemes gyűrű, akkor a) (a_{1}, …, a_{n})(b_{1}, …, b_{m}) = (…, a_{i}b_{j}, …);

b) a P ideál akkor és csak akkor prímideál, ha tetszőleges A és B ideálokra AB ⊆ P akkor és csak akkor teljesül, ha A ⊆ P vagy B ⊆ P;

c) tetszőleges ideál radikálja is ideál;

d) ha R főideálgyűrű, akkor P pontosan akkor prímideál, ha a generátora prím, és pontosan akkor primér, ha a generátora egy prímhatvány.

3. Mutassuk meg, hogy a ℂ[x, y] gyűrű I = (x^{2}, xy) ideálja nem primér, de tetszőleges p és q polinomokra igaz, hogy ha pq ∈ I, akkor p és q valamelyike belehatványozható I-be, és hogy az I radikálja prímideál. Melyik ideál ez a radikál?

4. Mutassuk meg, hogy a ℂ[x, y] gyűrű (x^{2}, y) ideálja primér, de nem hatványa a saját radikáljának.

5. Mutassuk meg, hogy a ℂ[x, y, z] gyűrű (xy, z) ideálja nem állítható elő primér ideálok szorzataként. Állítsuk elő primér ideálok metszeteként.

6. Állítsuk elő a ℂ[x, y] gyűrű alábbi ideáljait primér ideálok metszeteként, és a felbontás tényezőinek adjuk meg a radikálját is: (xy), (xy^{2}), (x^{2}, xy), (x^{2} + y^{2}), (x^{2}, y^{2}), (x^{2}, y^{3}), (x^{2}, xy, y^{2}), (x^{2}, xy^{2}, y^{3}), (x^{3}, x^{2}y^{2}, xy^{3}).

7. Legyen R egységelemes, kommutatív Noether-gyűrű. Igazoljuk az alábbi állításokat. a) Minden primér ideál tartalmazza a radikáljának egy hatványát.

b) Ha Q_{i} véges sok primér ideál, melyek mindegyikének a radikálja ugyanaz a P prímideál, akkor a Q_{i} ideálok metszete is primér, és a metszet radikálja szintén P.

c) Ha Q_{i} véges sok primér ideál, melyek radikáljai páronként különbözők, akkor a Q_{i} ideálok metszete, ha rövidíthetetlen, akkor nem primér.

8^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha az R kommutatív, egységelemes gyűrű minden prímideálja főideál, akkor R minden ideálja főideál.

9^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy egy egységelemes, kommutatív gyűrű pontosan akkor Noether, ha minden prímideálja végesen generált.

10. Igazoljuk, hogy ha egy gyűrűben az xa = b egyenlet egyértelműen megoldható minden a ≠ 0 és b elemekre, akkor ez ferdetest.

11. Legyenek V és W vektorterek. Mutassuk meg, hogy az U ⊗ V vektortér egy ∑ u_{i} ⊗ v_{i} eleme akkor és csak akkor nem írható fel kevesebb számú tenzor összegeként, ha mind az {u_{i}}, mind a {v_{i}} független rendszert alkotnak. Vessük össze ezt az állítást a minimális diádfelbontások jellemzéséről szóló tétellel.

12. Legyenek A : U → V és B : W → Z vektorterek közötti lineáris leképezések, az A mátrixa az {a_{i}}, {b_{j}} bázisban M, a B mátrixa a {c_{k}}, {d_{ℓ}} bázisban N. Számítsuk ki az A ⊗ B lineáris leképezés mátrixát az {a_{i} ⊗ c_{k}}, {b_{j} ⊗ d_{ℓ}} bázisban. (Az eredményt a két mátrix tenzorszorzatának, vagy Kronecker-szorzatának nevezzük.)