Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Második alkalom

1. Igazoljuk, hogy az x^{5} − 15x − 3, x^{5} − 35x + 5, x^{5} − 15x^{4} + 6 polinomok egyike sem oldható meg gyökjelekkel.

2. Mutassuk meg, hogy az x^{3} − 3x + 1 polinom minden gyöke gyökkifejezés ℚ felett, de a polinom felbontási teste nem érhető el gyökökkel. Ha egy véges normális bővítés minden eleme szerkeszthető, akkor következik-e ebből, hogy maga a bővítés az alaptestből elérhető másodfokú bővítések sorozatával? És ha a normalitás feltételét elhagyjuk?

3. Legyen p prím, és K nulla karakterisztikájú test, ami nem tartalmaz p-edik primitív egységgyököt. Mutassuk meg, hogy ha a ∈ K, akkor x^{p} − a vagy irreducibilis K fölött, vagy pontosan egy gyöke van K-ban. Mi lesz a Galois-csoportja ebben a második esetben?

4. Az alábbi feladatokban adjuk meg a K alaptestet, a K(α) fokát K felett, az α minimálpolinomja felbontási testének fokát K felett, és döntsük el, hogy a szerkesztés elvégezhető-e.

a) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

b) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[4]{2}.

c) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[6]{2}.

d) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

e) Adott (0, 0), (0, 1), (0, π), a feladat az egységsugarú kör négyszögesítése.

f) Adott egy szabályos 9-szög a síkon. Szerkesztendő egy szabályos 18-szög. Mi az α?

5. Hol a hiba a következő gondolatmenetben? Az egységszakaszból akarunk π hosszú szakaszt szerkeszteni. Vegyük fel a koordinátarendszert úgy, hogy a síkon adott egységszakasz két végpontja a (0, π) és az (1, π) pontokba kerüljön. Ekkor K = ℚ(0, 1, π), amelynek a szerkesztendő szám eleme. Tehát ez a szerkesztés elvégezhető.

6. Szerkeszthető-e a háromszög két oldalából és az egyikhez tartozó szögfelezőből?

7. Szerkeszthető-e az egyenlő szárú háromszög a szárából és a beírt kör sugarából?

8. Igazoljuk, hogy ha x^{4} + ax^{2} + bx + c ∈ ℚ[x] irreducibilis ℚ felett, akkor ekvivalensek:

(1) Az egyenlet valamelyik gyöke szerkeszthető az egységszakaszból kiindulva.

(2) Az egyenlet összes gyöke szerkeszthető az egységszakaszból kiindulva.

(3) A 8x^{3} − 4ax^{2} − 8cx + (4ac − b^{2}) polinomnak van racionális gyöke.

9. Tegyük fel, hogy egy nulla karakterisztikájú K test feletti f polinomnak nincsenek többszörös gyökei. Mutassuk meg, hogy f Galois-csoportja akkor és csak akkor része a gyökök halmazán ható alternáló csoportnak, ha f diszkriminánsa egy K-beli elem négyzete.

10. Legyen p prímszám, és K egy p karakterisztikájú test. Definiáljuk a K feletti n-edik Φ_{n} körosztási polinomot ugyanazzal a rekurzióval, mint ℤ fölött.

a) Tegyük fel, hogy n = p^{k}m, ahol már p ∤ m. Mutassuk meg, hogy Φ_{n} = Φ_{m}^{φ(p^{k})}.

b) Igazoljuk, hogy ha p ∤ m, akkor Φ_{m} gyökei K-ban pontosan a K multiplikatív csoportjának n rendű elemei.

c) Igazoljuk, hogy ha p ∤ m, akkor Φ_{m} felbomlik o_{m}(p) fokú, a K prímteste fölött irreducibilis polinomok szorzatára.

d) Hogyan kaphatjuk meg a K felett irreducibilis tényezők fokszámát?