Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Tizedik alkalom

Az alábbiakban G véges csoportot jelöl.

1. Bontsuk fel a ℂ[ℤ_{2}], ℂ[ℤ_{2}^{2}], ℂ[Q], ℝ[Q], ℂ[D_{4}], ℂ[S_{3}] csoportalgebrákat a Wedderburn-Artin tétel szerint (Q a nyolcelemű kvaterniócsoport).

2. Adjuk meg a D_{n} diédercsoport egy másodfokú irreducibilis karakterét.

3. Legyen χ = m_{1}χ_{1} + ⋯ + m_{k}χ_{k} a χ karakter felbontása irreducibilisek összegére. Bizonyítsuk be, hogy Ker(χ) = ⋂{Ker(χ_{i}) | m_{i} > 0}.

4. Legyen N ◁ G, igazoljuk a következőket. A G/N reprezentációi kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésben állnak a G azon reprezentációival, melyek magja N-et tartalmazza. Irreducibilis reprezentációk egymásnak felelnek meg. Ha χ̂ karaktere G/N-nek, akkor az ennek megfelelő G-karakter χ(g) = χ̂(gN). Megfordítva, ha N ⊆ Ker(χ), akkor χ konstans az N mellékosztályain, és a χ̂(gN) = χ(g) képlet a faktorcsoport karakterét értelmezi. Továbbá

a) N = ⋂{Ker(χ_{i}) | N ⊆ Ker(χ_{i})}.

b) |G : N| = ∑{n_{i}^{2} | N ⊆ Ker(χ_{i})}.

5. Legyen N ◁ G és tegyük fel, hogy N nem része a χ_{i} irreducibilis karakter magjának. Igazoljuk, hogy ∑_{g∈N} χ_{i}(g) = 0.

6. Igazoljuk, hogy G lineáris karaktereinek száma |G : G′|, magjaik metszete pedig G′.

7. Legyen χ karaktere G−nek, n = χ(1) ennek foka, és Z = Z(χ). Igazoljuk, hogy a) Z/Ker(χ) ⊆ Z(G/Ker(χ)), és ha χ irreducibilis, egyenlőség áll;

b) Z(G) = ⋂{Z(χ_{i}) | 1 ≤ i ≤ k}.

8. Írjuk fel a ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{2}^{2}, S_{3}, D_{4}, Q, A_{4}, S_{4}, D_{6} csoportok karaktertábláját.

9^{∗}. Igazoljuk, hogy minden véges Abel-csoport izomorf a karaktercsoportjával.

10. Mutassuk meg, hogy ha g ∈ G másodrendű elem, akkor minden χ karakterre χ(g) egész szám, sőt χ(g) − χ(1) páros.

11. Mutassuk meg, hogy ha G véges csoport, akkor a g ∈ G elem akkor és csak akkor konjugált az inverzével, ha minden χ karakterre χ(g) valós (és ilyenkor |G| páros).

12. Igazoljuk, hogy χ(1)^{2} ≤ |G : Z(χ)| teljesül a G minden irreducibilis χ karakterére.

13^{∗}. Legyen A Abel-féle részcsoport a G véges csoportban, és tegyük fel, hogy G-nek van olyan irreducibilis karaktere, melynek foka A indexe. Mutassuk meg, hogy G-ben van nemtriviális Abel-féle normálosztó.

14^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden nemlineáris, irreducibilis karakter felveszi a 0 értéket.

15^{∗}. Legyen G egyszerű csoport, melynek rendjét osztja egy p prím négyzete. Igazoljuk, hogy G-nek nem lehet p fokú irreducibilis karaktere.

16. Legyen A prímhatványindexű, kommutatív részcsoport G-ben. Igazoljuk, hogy G nem lehet nemkommutatív egyszerű csoport.

17^{∗}. Igazoljuk, hogy ha |G| páratlan, akkor G egyetlen valós, irreducibilis karaktere a χ_{1} főkarakter.