Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Első alkalom

1. Bontsuk fel a ℤ_{2} test felett az x^{8} −x polinomot irreducibilisek szorzatára, és adjuk meg, hogy a ℤ_{2}[z]/(z^{3} + z + 1) nyolcelemű test mely elemeinek mi lesz a minimálpolinomja.

2. Hány négyzet- illetve köbelem van a 27-elemű testben?

3. Határozzuk meg x^{2} + x + 1 felbontási testét GF(121) és GF(125) fölött.

4. Mutassuk meg, hogy minden véges test felett van akármilyen fokú irreducibilis polinom.

5. Pistike szerint „a ℤ_{2} felett az x^{3} − x polinom gyökei (e polinom felbontási testében) résztestet alkotnak, ezért ez egy háromelemű test”. Mit szólt ehhez a tanító néni?

6. Határozzuk meg az x^{11} − 1 polinom felbontási testét ℤ_{2} fölött. Általánosítsunk.

7. Mutassuk meg, hogy ha p prím, akkor x^{p^{n}} − x az összes olyan ℤ_{p} fölött irreducibilis polinomom szorzata, melyek foka n-nek osztója.

8. Hány nyolcad- illetve 12-edfokú irreducibilis polinom van ℤ_{2} fölött?

9. Legyenek p és q prímek és n pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy ℤ_{p} fölött a q^{n}-edfokú irreducibilis polinomok száma (p^{q^{n}} − p^{q^{n−1}})/q^{n}.

10. Legyen K = GF(p^{n}), ahol p prím, és g a K multiplikatív csoportjának generátoreleme. Mutassuk meg, hogy ha K két elemének minimálpolinomja megegyezik, akkor multiplikatív rendjük ugyanaz. Igazoljuk, hogy a g = h^{i} elem ℤ_{p} feletti minimálpolinomjának a foka éppen a p rendje modulo m, ahol m = (p^{n} − 1)/(p^{n} − 1, i) a h elem multiplikatív rendje. Igazoljuk, hogy ez a fok pontosan akkor n, ha i nem osztható (p^{n} − 1)/(p^{d} − 1)-gyel semmilyen d < n esetén. Következik-e ebből, hogy h rendje p^{n} − 1?

11. Legyen p prím, és K a ℤ_{p}[z] hányadosteste. Mutassuk meg a Schönemann-Eisenstein kritérium felhasználásával, hogy az x^{p} − z polinom irreducibilis K felett, de a K algebrai lezártjában vannak többszörös gyökei (és így K nem tökéletes test).

12. Legyen p prím, és K egy p karakterisztikájú test. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat. a) Ha K-ban a p-edik gyökvonás elvégezhető, akkor egyértelmű.

b) Egy K felett irreducibilis f polinomnak pontosan akkor van többszörös gyöke K egy bővítésében, ha f-ben csupa p-vel osztható kitevőjű tag szerepel.

c) A K pontosan akkor tökéletes, ha minden eleméből vonható K-ban p-edik gyök.

d) Minden véges test tökéletes.

e) Tökéletes test minden algebrai bővítése is tökéletes.

13. Legyen K (kommutatív) test, és G egy véges részcsoportja K multiplikatív csoportjának. Mutassuk meg, hogy ha k pozitív osztója G rendjének, akkor G-ben legfeljebb φ(k) darab k rendű elem lehet. Ebből, és a ∑_{k|n} φ(k) = n azonosságból, de a véges Abelcsoportok alaptételének felhasználása nélkül lássuk be, hogy G ciklikus. Igazoljuk azt is, hogy véges Abel-csoportban mindig van olyan elem, aminek a rendje a csoport exponense.

14. Igazoljuk, hogy ha K test, akkor a) K pontosan akkor algebrailag zárt, ha minden algebrai bővítése elsőfokú;

b) a K algebrai lezártja K feletti izomorfizmus erejéig egyértelmű.