Matematikus szak, első évfolyam, első félév Második zárthelyi (2001. dec. 20) — megoldásvázlatok

1. Ez az origó körüli −90 fokos forgatás mátrixa, tehát a −45^{∘}-os forgatás mátrixa megfelelő lesz. Ez

\frac{1}{2} ( \begin{matrix}\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ −\sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix} )

Beszorzással ellenőrizhető az eredmény.

2. A mátrix determinánsa 1 − b (2 pont). Az kell, hogy ez nulla legyen ℤ_{5} fölött, de ne legyen nulla, ez teljesül például, ha b = 6 (2 pont). Ekkor az inverz

\frac{1}{5} ( \begin{matrix}−27 & 11 & −1 \\ 15 & −5 & 0 \\ 2 & −1 & 1 \end{matrix} )  (2 pont).

3. Az f permutáció csak (abc)(de) alakú lehet (1 pont). A felcserélhetőségből kapjuk, hogy (12)(f(1)) = f(2). Mivel f(1) ≠ f(2), de (12) csak két pontot mozdít meg, ezért f(1) csak 1 vagy 2 lehet. De f-nek nincs fixpontja, ezért f(1) = 2 és f(2) = 1 (3 pont). Tehát {a, b, c} = {3, 4, 5}, és így f = (12)(345) vagy (12)(354), és mindkettő jó (2 pont).

4. ℤ_{3} felett az 1 gyök (1 pont), például Hornerrel (x^{3}+2x+2)(x+2) adódik (1 pont). Itt az első tényező irreducibilis ℤ_{3} fölött, mert harmadfokú, és nincs gyöke (1 pont). A racionális gyökteszt miatt (1 pont) az eredeti polinom csak két másodfokú szorzatára bomolhatna ℤ[x]-ben (1 pont). De akkor lenne másodfokú tényezője ℤ_{3} felett is, ami ellentmond a ℤ_{3}[x]-beli alaptételnek (1 pont). Tehát a polinom irreducibilis ℤ felett.

5. Ez a determináns az x^{3} +1 és x^{7} +1 polinomok rezultánsa (4 pont). E két polinomnak a −1 közös gyöke, tehát az eredmény nulla (2 pont). Második megoldás: Meg lehet mutatni, hogy csak két nem nulla kifejtési tag van (ehhez használni kell, hogy (3, 7) = 1), amelyek előjele ellentétes.

6. Akkor és csak akkor, ha n osztható néggyel. Ilyenkor az V-VI/21. feladatot alkalmazva m = n/2-re azt kapjuk, hogy Φ_{n} polinomja x^{2}-nek (3 pont). Megfordítva, ha Φ_{n}-ben csak páros fokú tagok vannak, akkor Φ_{n}(−x) = Φ_{n}(x). Az V-VI/18. feladat miatt tehát n sem páratlan, sem egy páratlan szám kétszerese nem lehet (3 pont). A hivatkozások helyett közvetlenül is számolhatunk: a gyökök ellentettjeinek rendjeit kell megállapítani.