Alkalmazott matematikus szak, első évfolyam, első félév Második zárthelyi (2001. dec. 20) — megoldásvázlatok

1. Ez az origó körüli +90 fokos forgatás mátrixa, tehát a +45^{∘}-os forgatás mátrixa megfelelő lesz. Ez

\frac{1}{2} ( \begin{matrix}\sqrt{2} & −\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{matrix} )

Beszorzással ellenőrizhető az eredmény.

2. A mátrix determinánsa −b − 5 (2 pont). Az kell, hogy ez nulla legyen ℤ_{7} fölött, de ne legyen nulla, ez teljesül például, ha b = 2 (2 pont). Ekkor az inverz

\frac{1}{7} ( \begin{matrix}−9 & 1 & 13 \\ 5 & 1 & −8 \\ 2 & −1 & 1 \end{matrix} )  (2 pont).

3. Az f permutáció csak (abc)(de) alakú lehet (1 pont). A felcserélhetőségből kapjuk, hogy (123)(f(4)) = f(4), azaz f(4) = 4 vagy f(4) = 5, mert (123) fixpontjai 4 és 5. De f-nek nincs fixpontja, és így f(4) = 5, és hasonlóan f(5) = 4 (3 pont). Tehát {a, b, c} = {1, 2, 3}, és így f = (123)(45) vagy (132)(45), és mindkettő jó (2 pont).

4. ℤ_{3} felett a 2 gyök (1 pont), például Hornerrel (x^{3}+2x+1)(x+1) adódik (1 pont). Itt az első tényező irreducibilis ℤ_{3} fölött, mert harmadfokú, és nincs gyöke (1 pont). A racionális gyökteszt miatt (1 pont) az eredeti polinom csak két másodfokú szorzatára bomolhatna ℤ[x]-ben (1 pont). De akkor lenne másodfokú tényezője ℤ_{3} felett is, ami ellentmond a ℤ_{3}[x]-beli alaptételnek (1 pont). Tehát a polinom irreducibilis ℤ felett.

5. Ez a determináns az x^{5} +1 és x^{3} +1 polinomok rezultánsa (4 pont). E két polinomnak a −1 közös gyöke, tehát az eredmény nulla (2 pont). Második megoldás: Meg lehet mutatni, hogy csak két nem nulla kifejtési tag van (ehhez használni kell, hogy (3, 5) = 1), amelyek előjele ellentétes.

6. Akkor és csak akkor, ha n osztható néggyel. Ilyenkor az V-VI/21. feladatot alkalmazva m = n/2-re azt kapjuk, hogy Φ_{n} polinomja x^{2}-nek (3 pont). Megfordítva, ha Φ_{n}-ben csak páros fokú tagok vannak, akkor Φ_{n}(−x) = Φ_{n}(x). Az V-VI/18. feladat miatt tehát n sem páratlan, sem egy páratlan szám kétszerese nem lehet (3 pont). A hivatkozások helyett közvetlenül is számolhatunk: a gyökök ellentettjeinek rendjeit kell megállapítani.