Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Második zárthelyi (2001. dec. 20)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Adjunk meg egy olyan valós elemű kétszer kettes mátrixot, melynek négyzete

( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

2. Keressünk egy olyan b egész számot, melyre

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{matrix} )

invertálható ℚ felett, de nem invertálható ℤ_{7} felett. Számítsuk is ki az inverzét ℚ felett.

3. Hány olyan hatodrendű elem van S_{5}-ben, amely (123)-mal felcserélhető (azaz (123) ∘ f = f ∘ (123) teljesül)?

4. Bontsuk fel az x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + 1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ_{3} és ℤ fölött.

5. Számítsuk ki azt a 8×8-as determinánst, melyben a_{ij} = 1 ha i−j értéke −5, 0 vagy 3, különben pedig a_{ij} = 0 (tehát 16 darab 1-es van).

6. Mely n > 1 egészekre lesz Φ_{n}(x) minden tagja páros fokú?