Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Első zárthelyi (2001. nov. 8)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Mely z komplex számokra teljesül, hogy |z − i| = Im(\overline{z})?

2. Soroljuk fel az x^{2001} − 667x^{3} − 666 polinom összes többszörös gyökeit a komplex számok között.

3. Mely n pozitív egészekre igaz a következő állítás: ha ε egy n-edik primitív egységggyök, akkor iε rendje n?

4. Számítsuk ki a ∑ ε_{j}^{2}ε_{k}^{2} összeget, ahol ε_{1}, …, ε_{24} a 24-ik egységgyökök. Az összegezés az 1 ≤ j < k ≤ 24 indexekre történik.

5. Bontsuk az x^{5} + 7x^{4} + 18x^{3} + 19x^{2} + 4x + 3 polinomot ℚ felett irreducibilisek szorzatára.

6. Egy széttépett zárthelyin a következőket olvashatjuk: „Az x^{100}/101+” (a polinom többi — alacsonyabb fokú — tagjai a letépett részen vannak) „tetszőleges egész helyen egész értéket vesz fel.” Jogosan tépték-e szét a dolgozatot (azaz lehet-e igaz ez az állítás)?