Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam első félév Nyolcadik alkalom (2001 nov. 15–20)

1. Adjunk meg egy olyan polinomot egy alkalmas test felett, melynek van olyan nyolcszoros u gyöke, hogy u a polinom deriváltjának is (pontosan) nyolcszoros gyöke. Igaz-e tetszőleges test felett, hogy ha egy elem egy polinomnak egyszeres gyöke, akkor a deriváltjának biztosan nem gyöke?

2. Mutassuk meg tetszőleges test felett, hogy ha az f polinomnak van többszörös tényezője (azaz g^{2} alakú osztója, ahol g nem konstans polinom) akkor (f, f′) ≠ 1. Mely p prímekre igaz, hogy x^{n} − 1-nek van többszörös tényezője ℤ_{p} felett?

3. Lehet-e egy ℚ illetve ℤ_{2} felett irreducibilis polinomnak többszörös gyöke egy nagyobb testben?

4. Legyen f(x, y) = x^{9} + x^{3}y^{3} + y^{2} + y ∈ ℂ[x, y], és jelölje ℂ(y) a ℂ[y] hányadostestét. a) Primitív-e f, mint ℂ[y] feletti polinom?

b) Következik-e a Schönemann-Eisenstein tételből, hogy f irreducibilis ℂ(y) felett?

c) Irreducibilis-e f a ℂ[x, y]-ban?

5. Általánosítsuk az interpolációt többváltozós polinomokra. Mutassuk meg, hogy véges test esetében minden véges sok változós függvény polinomfüggvény. Mutassuk meg, hogy véges test felett nem érvényes a polinomok azonossági tétele. Adjunk meg minden véges test felett olyan polinomot, amelynek nincs gyöke az adott testben.

6. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy művelettartóak-e. a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

f) G_{1} = ℝ[x] mint gyűrű, G_{2} = ℂ mint gyűrű, φ(f) = f(i).

7. Igazoljuk, hogy az \{a + bi | a, b ∈ ℚ\} és \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\} testek nem izomorfak (a műveletek mindkét esetben a szokásos ℂ-beli összeadás és szorzás).

8. Mutassuk meg, hogy a mod m maradékképzés ℤ-ből ℤ_{m}-be művelettartó (mindkét gyűrűműveletre). Vezessük le ebből, hogy ℤ_{m} gyűrű.

9. Ha R és S gyűrűk, és φ : R → S gyűrűhomomorfizmus, akkor mutassuk meg, hogy a_{0} +a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n} ↦ φ(a_{0})+φ(a_{1})x+⋯+φ(a_{n})x^{n} is homomorfizmus R[x]-ből S[x]-be.

10. Igazoljuk, hogy az a + bi (a, b ∈ ℤ) alakú számok alkotta gyűrű hányadosteste „valójában” az a + bi (a, b ∈ ℚ) alakú számok teste.

11. Bontsuk az x^{12} − 1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ, ℤ_{2}, ℤ_{3} és ℤ_{5} felett.

12^{∗}. Legyen p prímszám, és n = p^{k}m, ahol már p ∤ m. Mutassuk meg, hogy modulo p a Φ_{n} egyenlő a Φ_{m}^{φ(p^{k})} polinommal.

13^{∗}. Igazoljuk, hogy a Φ_{n} polinom egy alkalmas eltoltjára akkor és csak akkor teljesül a Schönemann-Eisenstein, ha n prímhatvány, vagy egy páratlan prímhatvány kétszerese.