Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam első félév Hetedik alkalom (2001 nov. 8–13)

1. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az invertálható elemeket.

a) \{a + bi | a, b ∈ ℚ\}, \{a + bi | a, b ∈ ℤ\}, \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}, \{a + b\sqrt[3]{2} | a, b ∈ ℚ\} a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

b) ℂ[x] páros fokú elemei és a 0 a polinomok szokásos összeadására és szorzására nézve.

c) ℝ[x] legalább huszadfokú elemei és a 0 a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

d) ℂ[x] elemei a szokásos összeadásra, és a kompozícióra, mint szorzásra.

e) Tetszőleges Abel-csoport, a szorzást úgy definiáljuk, hogy minden szorzat nulla.

f) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése, a szorzás pedig a metszetképzés.

2. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.

a) Ha ∘ kétváltozós művelet egy A halmazon, akkor csak egy neutrális eleme lehet.

b) Ha e neutrális elem a ∘ kétváltozós asszociatív műveletre nézve, akkor minden elemnek legfeljebb egy (kétoldali) inverze lehet (e-re nézve).

c) Ha S gyűrű, és 0 az összeadás neutrális eleme (azaz S nulleleme), akkor tetszőleges s, t ∈ S esetén s ∗ 0 = 0 ∗ s = 0 és (−s) ∗ t = s ∗ (−t) = −(s ∗ t).

d) Egy egységelemes R gyűrű invertálható elemei a szorzásra nézve csoportot alkotnak.

3. Végezzük el ℤ_{17}-ben a 2/3 és az 5/12 osztásokat. Mutassuk meg, hogy ez egy test.

4. Mely m-ekre van ℤ_{m}[x]-ben olyan polinom, amelynek több gyöke van, mint a foka?

5. Határozzuk meg a legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomokat ℤ_{2} felett.

6. Az x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 polinomot ℤ_{2} felett vizsgálva igazoljuk, hogy irreducibilis ℚ felett.

7. Irreducibilisek-e az alábbi polinomok?

a) ℤ_{2} felett x^{8} + x^{2} + 1, x^{5} + x + 1, x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1, x^{5} + x^{3} + 1.

b) ℤ_{17} felett x^{2} + 1, x^{4} + 1, x^{8} + 1, x^{17} + 1, x^{17} + 2.

8. Legyen f ∈ ℤ[x] egy n-edfokú polinom, ahol n ≥ 1, p egy prímszám, és 0 < k < n. Legyen \overline{f} ∈ ℤ_{p}[x] az f modulo p véve. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha f irreducibilis ℤ felett, akkor \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett.

b) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℤ illetve ℚ felett.

c) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, és \overline{f} foka n, akkor f irreducibilis ℚ felett.

d) Ha f-nek van ℤ felett k-adfokú tényezője, akkor \overline{f}-nak is van k-adfokú tényezője.

e) Az előző állítás akkor, ha azt is tudjuk, hogy \overline{f} foka n. Adjunk az első Gauss-lemmára és a Schönemann-Eisenstein-tételre új bizonyítást a polinom mod p vizsgálatával.

9. Legyen ∘ asszociatív művelet az A halmazon, és a, b, c, d, e ∈ A.

a) Mutassuk meg, hogy [(a ∘ b) ∘ (c ∘ d)] ∘ e = a ∘ [{(b ∘ c) ∘ d} ∘ e].

b)^{∗} Mutassuk meg, hogy tetszőleges szorzat értéke független a zárójelezéstől.

10^{∗}. Jelölje ℤ[\sqrt{2}] az a + b\sqrt{2} alakú számok gyűrűjét a ℂ-beli összeadásra és szorzásra, ahol a, b ∈ ℤ. Igazoljuk, hogy ebben végtelen sok invertálható elem van.