Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam első félév Negyedik alkalom (2001 okt. 9–12)

1. Határozzuk meg az x^{6} + x^{5} + 5x^{4} + 4x^{3} + 8x^{2} + 4x + 4 polinom többszörös gyökeit.

2. Mely b ∈ ℂ értékekre van az x^{n} + bx^{k} + 1 polinomnak háromszoros gyöke?

3^{∗∗}. Az n-edfokú f ∈ ℂ[x] polinomnak nincs többszörös gyöke. Lehet-e legalább n-szeres gyöke az [f′]^{2} − ff′′ polinomnak?

4. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

5. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

6. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} + 1-gyel illetve x^{2} − 1-gyel?

7. Igazoljuk, hogy a p(x) = (x − a)q(x) + p(a) felírásban a q együtthatói éppen a Hornerelrendezés alsó sorában szereplő számok.

8. Állapítsuk meg az f(x) = 3x^{3} + 6x^{2} + 6x + 3 és a g(x) = 2x^{4} + 2x^{2} + 2 polinomok kitüntetett közös osztóját az euklideszi algoritmussal, és az eredményt írjuk fel (a szokásos visszahelyettesítési eljárással) fp + gq alakban, ahol p és q alkalmas polinomok.

9. Adjunk meg olyan polinomot, amelyre f(0) = 3, f(1) = 3, f(4) = 7 és f(−1) = 0.

10. Tegyük fel, hogy az f ∈ ℂ[x] polinom minden racionális helyen racionális értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy f racionális együtthatós? Igaz-e az állítás, ha „racionális” helyett mindenütt „egész” szerepel?

11^{∗}. Létezik-e olyan f ∈ ℤ[x] polinom, melyre f(10) = 400, f(14) = 440 és f(18) = 520?

12^{∗}. Tegyük fel, hogy n egész alapponthoz keresünk interpolációs polinomot, és az itt felvett értékek maguk is egészek, de a kapott legfeljebb n − 1-edfokú interpolációs polinom mégsem egész együtthatós. Lehetséges-e, hogy az interpoláció egy magasabb fokú, de egész együtthatós polinommal is elvégezhető?

13. Mutassuk meg, hogy ha f ∈ ℝ[x] és z ∈ ℂ, akkor z és \overline{z} ugyanannyiszoros gyöke f-nek. Igazoljuk, hogy páratlan fokú valós együtthatós polinomnak mindig van valós gyöke.

14. Adjuk meg az összes olyan ℚ[x]-beli tizedfokú polinomot, melynek az i ötszörös gyöke.

15. Az alábbi p polinomot bontsuk homogén polinomok összegére, ezeket rendezzük lexikografikusan, és állapítsuk meg a p^{7} polinomban egyrészt a lexikografikusan legnagyobb tagot, másrészt a legnagyobb fokú tagok közül a lexikografikusan legnagyobb tagot. Helyettesítsük be mindegyik x_{i} helyére a négy határozatlanú σ_{i} elemi szimmetrikus polinomot, és adjuk meg az eredménynek egy olyan tagját, amelynek nem nulla az együtthatója.

p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = ix_{1}x_{2}x_{3}x_{4}^{2} −x_{1}^{2}x_{3}^{3} +3x_{1}^{3}x_{2} +πx_{1}^{2}x_{2}^{3} +x_{4} −x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3} +2x_{1}^{2}x_{2}x_{3}x_{4} −6x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{4} .

16. Egy 3-határozatlanú szimmetrikus polinom lexikografikusan legnagyobb tagja x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}. Lehet-e neki tagja x_{1}x_{2}^{3}x_{3}? Szerepelhet-e hatodfokú tag? Hány tag lehet legfeljebb? Amikor elemi szimmetrikusakkal írjuk fel, mi az eljárás első lépése?

17. Igaz-e, hogy szimmetrikus polinom minden homogén komponense is szimmetrikus?