Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam első félév Második alkalom (2001 szept. 25–28)

1. Adjuk meg az x^{8} = \sqrt{3} − i, x^{6} = 1 + i, x^{n} = −1 egyenletek összes megoldását.

2. Mivel egyenlő \binom{2001}{0} + \binom{2001}{4} + \binom{2001}{8} + \binom{2001}{12} + … ?

3. Fejezzük ki cos x és sin x segítségével sin 7x-et.

4^{∗}. Hozzuk zárt alakra a sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx összeget.

5. Tekintsük az 1, −1, i, 1 + i, (1 + i)/\sqrt{2}, cos(\sqrt{2}π) + i sin(\sqrt{2}π), cos(336^{∘}) + i sin(336^{∘}) számokat. Mennyi ezek rendje? Melyek egységgyökök? Mely n-ekre lesznek ezek a számok n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök?

6. Ha ε rendje osztható néggyel, mi lesz −ε rendje?

7. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet o(−iε)?

8. Mutassuk meg, hogy ha n > 0 egész, ε ∈ ℂ, és ε^{n} = i, akkor 4 | o(ε) ≠ ∞.

9. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan pozitív egész, akkor a 2n-edik primitív egységgyökök épp az n-edik primitív egységgyökök ellentettjei. (Először kis n számokra ellenőrizzük).

10. Szorozzuk össze a hatodik egységgyököket a negyedik egységgyökökkel az összes lehetséges módon. Hány különböző számot kapunk?

11. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Hány közös gyöke van az x^{n} = 1 és x^{m} = 1 egyenleteknek?

b) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

c) Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

12. Számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, szorzatát és négyzetösszegét.

13. Határozzuk meg a primitív tizenkettedik egységgyökök összegét és szorzatát.

14. Mutassuk meg, hogy a z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} páronként különböző komplex számok akkor és csak akkor vannak egy körön vagy egyenesen, ha kettősviszonyuk, azaz a (z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}) =

\frac{z_{3} − z_{1}}{z_{3} − z_{2}} / \frac{z_{4} − z_{1}}{z_{4} − z_{2}} kifejezés valós szám.

15. Igazoljuk komplex számok felhasználásával Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza rendre a, b, c, d, átlóinak hossza pedig e és f, akkor ac + bd ≥ ef, és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög húrnégyszög.

Megoldás az I/10. feladatra. Legyen ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, η = cos 60^{∘} + i sin 60^{∘}. A szabályos hatszöget felrajzolva látjuk, hogy η = 1 + ε és 1 + ε + ε^{2} = 0. Ha a háromszög csúcsai A, B, C, és X jelöli az AB oldalra kifelé rajzolt szabályos háromszög középpontját, akkor az \overrightarrow{XB} vektort 120 fokkal elforgatva az \overrightarrow{Y B} adódik, azaz (B−X)ε = A−X, ahonnan X kifejezhető. Analóg módon írhatjuk fel a keresett másik két pontot is, legyenek ezek Y és Z. Azt kell belátni, hogy az \overrightarrow{XY} vektort 60^{∘}-kal elforgatva az \overrightarrow{XZ}-t kapjuk, azaz (Y −X)η = (Z −X). Behelyettesítve, és A, B, C szerint rendezve, a fenti két azonosságból az adódik, hogy A, B és C együtthatója is nulla.