Mat-alkmat gyakorlat, első évfolyam első félév Első alkalom (2001 szept. 18–21)

1. Végezzük el az alábbi műveleteket: (1 + i)(3 − 2i), 1/i, (1 + i)/(3 − 2i), |\overline{(4 + i)}/(4 + i)|, (1 + i)^{2}, (1 + i)^{2001}, |(1 + 2001i)^{100}/(1 − 2001i)^{100}|.

2. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között.

a) x^{2} + 1 = 0.

b) x^{2} = −12.

c) x^{2} + 2x + 2 = 0.

d) x^{2} + 2ix − 1 = 0.

3. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i − 21. Oldjuk meg az x^{2} + (i − 2)x + (6 − 6i) = 0 egyenletet.

4. Rajzoljuk le a komplex számsíkon a következő halmazokat: {z : Re(z + 2i) ≤ −2}, {z : Re(z + 1) ≥ Im(z − 3i)}, {z : |z − i − 1| ≤ 3}, {z : |z − 3 + 2i| = |z + 4 − i|}, \{z : z + \overline{z} = −1\}, \{z : 2z + 5 = 2\overline{z}\}, \{z : 1/z = \overline{z}\}, \{z : (1/z) + 8 = \overline{z}\}, \{z : |z| = iz\}, {z ∈ ℂ : Im((z − 1)/(z + 1)) = 0}, {z ∈ ℂ : Re((z − 1)/(z + 1)) = 0}.

5. Hol a hiba a következő levezetésben: 1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1}·\sqrt{−1} = i·i = −1.

6. Írjuk fel az alábbi számokat trigonometrikus alakban: 1 + i, 1 − i, \sqrt{3} + i, −1 − \sqrt{3}i.

7. Oldjuk meg az x^{3} = 1 és az x^{4} = −4 egyenleteket a komplex számok között.

8. A sík mely geometriai transzformációinak felelnek meg a komplex számok halmazának alábbi leképezései: z → 3z + 2, z → (1 + i)z, z → 1/\overline{z}.

9. Legyenek z és w különböző komplex számok. Írjuk fel az őket összekötő szakasz felezőpontját, valamint annak a két szabályos háromszögnek a harmadik csúcsát, illetve a középpontját, melyeknek az adott két szám két csúcsa.

10. Írjunk egy háromszög mindegyik oldalára kifelé egy szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy ezek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak.

11. Melyik természetes számmal egyenlő \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}?

12. Hozzuk ki az x^{3}−21x+20 = 0 egyenlet összes (valós) megoldását a Cardano-képletből.

13. Számítsuk ki az ax^{3} +bx^{2} +cx+d = 0 (a ≠ 0) egyenlet esetében azokat a w értékeket, melyekre az x → x + w helyettesítés eltünteti az x illetve az x^{2} együtthatóját.

14. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között: x^{2} = i, x^{2} + 3x + 4 = 0, x^{2} − (2 + i)x + 7i − 1 = 0, (2 + i)x^{2} − (5 − i)x + 2 − 2i = 0, x = (3 + 2i)\overline{x}, x = 2 · Re(x).

15. Egy négyszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átellenes oldalakra rajzolt négyzetek középpontjait. Mutassuk meg, hogy az így kapott két szakasz merőleges, és egyenlő hosszú.

16^{∗∗}. Tekintsük az f(z) = (az + b)/(cz + d) (ahol ad − bc ≠ 0, a, b, c, d ∈ ℂ) leképezést a komplex síkon. Mutassuk meg, hogy ez pontosan akkor képzi az egységkör belsejét önmagára, ha f(z) = k(z − α)(1 − \overline{α}z) alakban írható, ahol |k| = 1, |α| < 1, k, α ∈ ℂ.