Matematikus szak, első évfolyam, második félév Első zárthelyi — megoldásvázlatok

1. A mátrix felbontása

( \begin{matrix}0 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) · ( 1 0 1 0 ) + ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) · ( 0 1 1 2 ) .

2. A karakterisztikus polinom x^{2} + 1, a sajátértékek ±i, a sajátvektorok (2 ± i, −1)^{T} (és skalárszorosaik), az 1999-edik hatvány a mátrix ellentettje. Ez utóbbi állítás nemcsak számolással következik, hanem a Cayley-Hamilton tételből is.

3. A karakterisztikus polinom x^{4}, ezért a minimálpolinom x^{k} (1 ≤ k ≤ 4). De a mátrix köbe még nem nulla, ezért a minimálpolinom is x^{4} (4 pont). A Jordan-alak tehát egyetlen blokkból áll, a főátlóban nullákkal, különben már a mátrix köbe nulla lenne (2 pont).

4. Ellenpélda: b_{1}, …, b_{4} bázis V -ben, V_{1} = ⟨b_{1}, b_{2}⟩, V_{2} = ⟨b_{3}, b_{4}⟩, W = ⟨b_{1}, b_{3}, b_{2} + b_{4}⟩.

5. 98. Az alacsonyabb fokú „ilyen” polinomokat is lehet generálni (2 pont). Az (x − 2)^{2i} (i = 1, 2, ..., 50) és az (x − 2)^{2i+1} − (x − 2)^{3} (i = 2, 3, …, 49) polinomok rendszere csupa különböző fokú, és ezért független, tehát a dimenzió legalább 98 (2 pont). Az összes „ilyen” polinomok 101-dimenziós alterét háromszor csökkentettük (2 pont). Második megoldás: Legyen A(f) = (f(2), f′(2), f(1) − f(3)). Ennek magja a kívánt altér, viszont számolással láthatóan A szürjektív, tehát a dimenziótételből 101 − 3 jön ki.

6. Igen. Ugyanis a minimálpolinom osztója x^{3} − x-nek, és így mindegyik gyöke egyszeres, tehát a transzformáció diagonalizálható. Mivel a minimálpolinom gyökei a sajátértékek, legfeljebb három sajátérték van, tehát van legalább kétdimenziós sajátaltér.

7. 400. A konstrukció: ötösével beosztjuk egy bázis elemeit, és minden egyes {b_{1}, …, b_{5}} blokkon belül legyen A(b_{i}) = b_{i+1} illetve A(b_{5})=0 (2 pont). A becslés: legyen V_{i} = Ker(A^{i}), ekkor {0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ V_{5} = ℂ^{2000}. Legyen dim(V_{1}) = k és A_{i} az A leképezés V_{i}-re vett leszűkítése. Ekkor V_{1} ⊆ V_{i} miatt Ker(A_{i}) = V_{1}, továbbá nyilván Im(A_{i}) ⊆ V_{i−1}. A dimenziótétel miatt tehát dim(V_{i}) ≤ dim(V_{i−1}) + k. Így 2000 ≤ 5k (4 pont). A becslés a Jordan-alakból is látszik, hiszen minden blokk legfeljebb 5 × 5-ös, de minden blokkhoz tartozik sajátvektor.